湖南省岳阳市湘阴县界头铺中学高一数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在ABC中,,则C等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 关于有以下命题:
①则;
②函数的解析式可化为;
③图像关于对称;
④图像关于点对称。其中正确的是( )
A. ①与③ B. ②与③ C. ②与④ D. ③与④
参考答案:
C
3. 下列函数中是偶函数的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
4. 已知角的顶点在坐标原点,始边与轴正半轴重合,终边在直线上,则等于 ( )
A. B . C. D.
参考答案:
B
5. 已知O是三角形ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且=,则( )
A.= B.= C.= D.=
参考答案:
B
略
6. 如下图,动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上.过点P作垂直于平面BB1 D1D的直线,与正方体表面相交于M,N.设,,则函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
设正方体的棱长为 ,显然,当 移动到对角线 的中点 时, 取得唯一最大值,所以排除 ;当在 上时,分别过 作底面的垂线,垂足分别为 ,则 ,故选B.
7. 下列结论:;;函数定义域是;若则。
其中正确的个数是( )
A、0 B、1 C、2 D、3
参考答案:
B
8. 若且θ的终边不落在坐标轴上,则tan θ的值为( )
A. B.或0 C.0 D.
参考答案:
A
略
9. 已知,是不共线向量, =2+, =﹣+3, =λ﹣,且A,B,D三点共线,则实数λ等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
C
【考点】向量的线性运算性质及几何意义.
【分析】由A,B,D三点共线,得=β,(β为实数),由此能求出实数λ.
【解答】解:∵A,B,D三点共线,
∴=β,(β为实数),
∵=2+, =﹣+3, =λ﹣,
∴=(λ﹣1),
∴=,
解得,λ=5.
故选:C.
10. 以(1,﹣1)为圆心且与直线x+y﹣=0相切的圆的方程为( )
A.(x+1)2+(y﹣1)2=6 B.(x﹣1)2+(y+1)2=6
C.(x+1)2+(y﹣1)2=3 D.(x﹣1)2+(y+1)2=3
参考答案:
D
【考点】圆的标准方程.
【分析】求出圆的半径,即可求出圆的方程.
【解答】解:圆的半径,则所求圆的方程为(x﹣1)2+(y+1)2=3.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式的解集是_________。(用区间表示)
参考答案:
(1,11)
解:。∴解集是(1,11)。
12. 已知,,则 .
参考答案:
略
13. 将一枚硬币连续投掷3次,则恰有连续2次出现正面朝上的概率是 .
参考答案:
【考点】相互独立事件的概率乘法公式.
【分析】此题需要三步完成,所以采用树状图法比较简单,根据树状图可以求得所有等可能的结果与出现恰有连续2次出现正面朝上的情况,再根据概率公式求解即可.
【解答】解:画树状图得:
∴一共有共8种等可能的结果;
恰有连续2次出现正面朝上的有2种情况.
∴恰有连续2次出现正面朝上的概率是.
故答案为.
【点评】此题考查了树状图法概率.注意树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
14. 函数的单调递减区间是_____________.
参考答案:
(0,1)
略
15. 等差数列中,是它的前项之和,且,,则:①数列的公差; ②一定小于; ③是各项中最大的一项;④一定是中的最大值.其中正确的是 (填入你认为正确的所有序号).
参考答案:
①②④
略
16. 已知函数f(x)=sinx﹣cosx,则= .
参考答案:
【考点】两角和与差的正弦函数;函数的值.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用两角差的正弦公式化简函数f(x)的解析式,从而求得f()的值.
【解答】解:∵函数f(x)=sinx﹣cosx=sin(x﹣),
则=sin(﹣)=﹣=﹣,
故答案为:﹣.
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式,属于基础题.
17. 空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行,∠A=,则∠B= ▲ .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数,其中。
(1) 求函数的最大值和最小值;
(2) 若实数满足:恒成立,求的取值范围。
参考答案:
解:(1)∵
∴ —————————————2’
令,∵,∴。
令()—————————————4’
当时,是减函数;当时,是增函数。
∴———————————————8’
(2)∵恒成立,即恒成立。∴恒成立。
由(1)知,∴。
故的取值范围为 ————————————————12’
略
19. 在三角形中,角及其对边满足:
.
(1)求角的大小;(2)求函数的值域.
参考答案:
(1)由条件得:
,
所以,,
又,所以,,因为,所以,
所以,又,所以.
(2)在三角形中,,故.
因为,所以.
所以,.
所以,函数的值域为.
20. (13分)已知集合,,, R.
(1)求A∪B, (2)如果A∩C≠Φ,求a的取值范围。
参考答案:
1) 7分
(2) a<8 13分
略
21. 已知函数()的最小正周期为,且.
(1)求和的值;
(2)函数的图象纵坐标不变的情况下向右平移个单位,得到函数的图象,
①求函数的单调增区间;
②求函数在的最大值.
参考答案:
(1)的最小正周期为,所以,即=2……… 3分
又因为,则,所以. ……… 6分
(2)由(1)可知,则,
① 由得,
函数增区间为.……… 9分
② 因为,所以.
当,即时,函数取得最大值,最大值为 ……12分
22. 已知正项数列{an},其前n项和为Sn,且对任意的,an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足,求证:.
参考答案:
(Ⅰ);
(Ⅱ)见解析.
【分析】
(I)根据等差中项和等比中项的性质列方程,然后利用求得数列的通项公式.(II)由(Ⅰ)可得,求得的表达式,然后利用裂项求和法求得的值,再利用基本不等式证得不等式成立.
【详解】(Ⅰ)根据已知条件得,
即,
由作差可得:,故,故数列是首项为,公差为的等比数列,
因是正项数列,所以
(Ⅱ),,
故,
故
则
根据基本不等式知识可得:
故
【点睛】本小题主要考查等差中项和等比中项的性质,考查已知求的方法,考查裂项求和法,考查基本不等式求最值,属于中档题.