湖南省邵阳市高坪颜公中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 复数的共轭复数 V
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 将函数的图象y= f(2x)如何变换得到y= f(2x-2)+1( )
A.将y= f(2x)的图像向右平移2个单位,再向上平移1个单位
B. 将 y= f(2x)的图像向右平移1个单位,再向上平移1个单位
C.将 y= f(2x)的图像向左平移2个单位,再向下平移1个单位
D.将 y= f(2x)的图像向左平移1个单位,再向上平移1个单位
参考答案:
B
略
4. 面积为S的△ABC,D是BC的中点,向△ABC内部投一点,那么点落在△ABD内的概率为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 已知点O是边长为1的等边的中心,则= ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 已知函数是偶函数,且,则
A.-3 B.-1 C.1 D.2
参考答案:
A
7. (5分)设集合 M={x|x2+x﹣6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N= .
参考答案:
[1,2)
略
8. 的值等于
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 全集,集合,,那么集合( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 已知A,B,C三点的坐标分别是,,,,若,则的值为( )
A. B. C.2 D.3
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在区间上随机取一个数,则的概率为 .
参考答案:
略
12. 已知f(n)=1+,经计算得f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>…,观察上述结果,可归纳出的一般结论为 .
参考答案:
(n∈N*)
考点:归纳推理.
专题:计算题;推理和证明.
分析:由题意f(4)>2,可化为f(22)>,f(8)>,可化为f(23)>,即可得出结论.
解答: 解:由题意f(4)>2,可化为f(22)>,
f(8)>,可化为f(23)>,
…
以此类推,可得(n∈N*).
故答案为:(n∈N*).
点评:本题考查归纳推理,把已知的式子变形找规律是解决问题的关键,属基础题.
13. 已知等比数列的前项和为,且,,成等差数列,则的公比为 .
参考答案:
14. 函数在点处的切线的斜率是 .
参考答案:
2
15. 下面有四个命题:①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π.②函数f(x)=3sin(2x﹣)的图象关于直线x=π对称;③在同一坐标系中,函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移得到y=3sin2x的图象.其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的编号)
参考答案:
①②④
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【专题】证明题;转化思想;分析法;三角函数的图像与性质.
【分析】根据二倍角的余弦公式,平方差公式,同角三角形函数平方关系,化简解析式,再由余弦函数的周期性,可以判断①的真假;根据正弦函数的图象和性质,可以判断②③的真假;根据函数图象的平移变换法则,可以判断④的真假;进而得到答案.
【解答】解:函数y=sin4x﹣cos4x=(sin2x+cos?x)?(sin2x﹣cos2x)=﹣cos2x的最小正周期是π,故①正确;
函数y=sin(2x﹣)图象的对称轴方程是x=,k∈Z,当k=1时,x=,故②正确;
在同一坐标系中,函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有一个公共点,故③错误;
把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移得到y=3sin[2(x﹣)+]=3sin2x的图象,故④正确.
故答案为:①②④.
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用,余弦型函数的周期性,终边相同的角,正弦函数的性质,图象的平移变换,及三角函数的单调性,熟练掌握上述基础知识,并判断出题目中4个命题的真假,是解答本题的关键.
16. 已知数列{}的前项和,则其通项 ;若它的第项满足,则 .
参考答案:
答案:2n-10;8
解析:a1=S1= -8,而当n≥2时,由an=Sn-Sn-1求得an=2n-10,此式对于n=1也成立。要满足5k<8,只须5<2k-10<8,从而有,而k为自然数。因而只能取k=8。
17. (5分)若曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k= .
参考答案:
﹣1
【考点】: 利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】: 导数的概念及应用.
【分析】: 先求出函数的导数,再由题意知在1处的导数值为0,列出方程求出k的值.
解:由题意得,y′=k+,
∵在点(1,k)处的切线平行于x轴,
∴k+1=0,得k=﹣1,
故答案为:﹣1.
【点评】: 本题考查了函数导数的几何意义应用,难度不大.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos2+acos2=c.
(Ⅰ)求证:a,c,b成等差数列;
(Ⅱ)若C=,△ABC的面积为2,求c.
参考答案:
【考点】数列与三角函数的综合;正弦定理;余弦定理的应用.
【分析】(Ⅰ)利用正弦定理以及两角和与差的三角函数,三角形的内角和,化简求解即可.
(Ⅱ)利用三角形的面积以及余弦定理化简求解即可.
【解答】解:(Ⅰ)证明:由正弦定理得:
即,
∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinC…
∴sinB+sinA+sin(A+B)=3sinC
∴sinB+sinA+sinC=3sinC…
∴sinB+sinA=2sinC
∴a+b=2c…
∴a,c,b成等差数列.…
(Ⅱ)
∴ab=8…
c2=a2+b2﹣2abcosC
=a2+b2﹣ab
=(a+b)2﹣3ab
=4c2﹣24.…
∴c2=8得…
19. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
若实数a,b满足ab>0,且a2b=4,若a+b≥m恒成立.
(Ⅰ)求m的最大值;
(Ⅱ)若2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a,b恒成立,求实数x的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)解:由题设可得b=>0,∴a>0.∴a+b=a+=≥3,
当a=2,b=1时,a+b取得最小值3,∴m的最大值为3.···········································5分
(Ⅱ)解:要使2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a,b恒成立,须且只须2|x-1|+|x|≤3.
用零点区分法求得实数x的取值范围是-≤x≤.········································10分
20. 已知函数(R).
(1) 求的最小正周期和最大值;
(2) (2)若为锐角,且,求的值.
参考答案:
(1) 解:
…… 2
…… 3
. …… 4
∴的最小正周期为, 最大值为. …… 6
(2) 解:∵, ∴. …… 7分
∴. …… 8
∵为锐角,即, ∴.
∴. …… 10分
∴. …… 12分
略
21. 已知椭圆的中心在原点,一个焦点是,且两条准线间的距离为。
(1)求椭圆的方程;
(2)若存在过点A(1,0)的直线,使点F关于直线的对称点在椭圆上,
参考答案:
解:(I)设椭圆的方程为
由条件知且所以
故椭圆的方程是
(II)依题意, 直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是
设点关于直线的对称点为则
解得
因为点在椭圆上,所以即
设则
因为所以于是,
当且仅当
上述方程存在正实根,即直线存在.
解得所以
即的取值范围是
22. 已知函数.
(1)判断函数的奇偶性;
(2)判断函数在定义域内是增函数还是减函数?请说明理由;
(3)已知,解关于不等式: .
参考答案:
解: (1)所以函数是奇函数.
(2)函数在定义域上是单调减函数.
(3)当时,解集为;当时,解集为空集.
略