2022-2023学年上海市实验性示范性中学高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 右图是函数在一个周期内的图象,此函数的解析式为可为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
2. 设函数定义在实数集上,它的图象关于直线1对称,且当x1时,,则有 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
3. 已知双曲线的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为( ).
A.-2 B. C.1 D.0
参考答案:
A
略
4. 已知点满足条件,点,则的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
5. 设,若函数,有大于零的极值点,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 已知函数是定义在R上的奇函数,,当时,有成立,则不等式
的解集是
A.B. C.D.
参考答案:
A
7. 在平面直角坐标系xOy中,已知四边形 ABCD是平行四边形, =(1,﹣2),=(2,1)则?=( )
A.5 B.4 C.3 D.2
参考答案:
A
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标,然后代入向量数量积的坐标表示可求
【解答】解:由向量加法的平行四边形法则可得, ==(3,﹣1).
∴=3×2+(﹣1)×1=5.
故选:A.
8. 已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为1的正方形,则这个几何体的体积不可能是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4﹣2,3S2=a3﹣2,则公比q=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
B
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】3S3=a4﹣2,3S2=a3﹣2,两式相减得3a3=a4﹣a3,由此能求出公比q=4.
【解答】解:∵Sn为等比数列{an}的前n项和,3S3=a4﹣2,3S2=a3﹣2,
两式相减得
3a3=a4﹣a3,
a4=4a3,
∴公比q=4.
故选:B.
10. 已知为执行如图所示的程序框图输出的结果,则二项式的展开式中常数项的系数是()
A.-20 B.20 C. D.60
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过点(1,0)且与直线x﹣y+3=0平行的直线l被圆(x﹣6)2+(y﹣)2=12所截得的弦长为 .
参考答案:
6
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】先求与直线x﹣y+3=0平行的直线l的方程,再求圆心到直线l的距离,进而可求直线l被圆(x﹣6)2+(y﹣)2=12截得的弦长.
【解答】解:设与直线x﹣y+3=0平行的直线l的方程为x﹣y+c=0
∵直线过点(1,0)
∴c=﹣1
∴圆心到直线l的距离为=,
∴直线l被圆(x﹣6)2+(y﹣)2=12截得的弦长为2=6
故答案为6.
12. 已知,, 则 _______.
参考答案:
13. 设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域(包含边界)
为D,点P(x,y)为D内的一个动点,则目标函数z=x-2y的最小值为______.
参考答案:
14. 某几何体的三视图如图所示,主视图和左视图是长为3,宽为2的矩形,俯视图是边长为2的正方形,则该几何体的体积为_________.
参考答案:
8
略
15. (05年全国卷Ⅱ)下面是关于三棱锥的四个命题:
①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.
④侧棱与底面所成的角相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
其中,真命题的编号是_____________.(写出所有真命题的编号)
参考答案:
答案:①④
16. 两条渐近线所成的锐角为,且经过点的双曲线的标准方程为 .
参考答案:
或
17. 已知命题,则是
参考答案:
特称命题的否定为全称命题:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)已知向量,,对任意都有.
(1)求的最小值;
(2)求正整数,使
参考答案:
(1)设=(xn,yn),由=+得
∴{xn}、{yn}都是公差为1的等差数列……………………….3分
∵=(1,-7)∴xn=n,yn=n-8, =(n,n-8)
||的最小值为4…………………………………………6分
(2)由(1)可设=(m,m-8) =(n,n-8)
由已知得:·=0
mn+(m-8)(n-8)=0
(m-4)(n-4)= -16……………………………………8分
∵m,n∈N+
∴或 ……………………12分
19. (12分)在“自选专题”考试中,某考场的每位同学都从《不等式选讲》和《极坐标系与参数方程》两专题中只选了一道数学题,第一小组选《不等式选讲》的有1人,选《极坐标系与参数方程》的有5人,第二小组选《不等式选讲》的有2人,选《极坐标系与参数方程》的有4人,现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况。
(I)求选出的4人均为选《极坐标系与参数方程》的概率;
(Ⅱ)设为选出的4个人中选《不等式选讲》的人数,求的分布列和数学期望。
参考答案:
解析:(I)设“从第一小组选出的2人均考《极坐标系与参数方程》”为事件A,“从第二小组选出的2人均考《极坐标系与参数方程》”为事件B,由于事件A、B相互独立,
且
所以选出的4人均考《极坐标系与参数方程》的概率为
(Ⅱ)设可能的取值为0,1,2,3,得
的分布列为
0
1
2
3
的数学期望
20. (本题满分14分)已知抛物线,过点的直线与抛物线交于两点,且直线与轴交于点
(1)求证:成等比数列;
(2)设,,试问是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
参考答案:
(1)证明:设直线的方程为:,
联立方程可得得①
设,,,则,②
,
而,∴,
即成等比数列.
(2)由,得
,,
即得:,则
由(1)中②代入得,故为定值且定值为-1.
21. 中心在原点,焦点在轴上的椭圆的焦距为2,两准线间的距离为10. 设过点作直线交椭圆于两点,过点作轴的垂线交椭圆于另一点
(1)求椭圆的方程;
(2)求证直线过轴上一定点
(3)若过点作直线与椭圆只有一个公共点求过两点,且以为切线的圆的方程.
参考答案:
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题 H8
【答案解析】(1) (2) B(1,0). (3)
解析:解(1)设椭圆的标准方程为
依题意得:
所以,椭圆的标准方程为
(2)设,,AP=tAQ,则.
结合,得. 设B(x,0),则,,所以,直线过轴上一定点B(1,0).
(3)设过点的直线方程为:代入椭圆方程 得: .
依题意得:即得:
且方程的根为.
当点位于轴上方时,过点与垂直的直线与轴交于点,直线的方程是:
.
所求的圆即为以线段为直径的圆,方程为:
同理可得:当点位于轴下方时,圆的方程为:
【思路点拨】(1)依题意得:2c=2,=10,求出a,c,b,由此能求出椭圆的标准方程.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),=t,证明=t,即可得出结论.
(3)设过点A的直线方程为:y=k(x﹣5),代入椭圆方程得(4+5k2)x2﹣50k2x+125k2﹣20=0.依题意得:△=(50k2)2﹣4(4+50k2)(125k2﹣20)=0,由此能求出过B,D两点,且以AD为切线的圆的方程
22. 如图,过抛物线上一定点P()(),作两条直线分别交抛物线于A(),B().
(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.(12分)
参考答案:
(I)当时,
又抛物线的准线方程为
由抛物线定义得,所求距离为
(2)设直线PA的斜率为,直线PB的斜率为
由,
相减得,故
同理可得,由PA,PB倾斜角互补知
即,所以, 故
设直线AB的斜率为,由,,相减得
所以, 将代入得
,所以是非零常数.