2022-2023学年广西壮族自治区柳州市第二十中学高三数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,半径为2的⊙与直线相切于点,射线从出发绕点逆时针方向旋转到,旋转过程中,交⊙于点,设为,弓 形 的面积为,那么的图象大致是
参考答案:
D
2. 已知定义在R上的函数的导函数,若的极大值为,极小值为,则函数的图象有可能是
参考答案:
C
3. (5分)(2013?兰州一模)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合N∩(?UM)等于( )
A.
{1,2,3,4}
B.
{1,4,5,6}
C.
{1,4,5}
D.
{1,4}
参考答案:
D
略
4. 已知集合,则的真子集个数为( )
A. 3 B. 6 C. 7 D.8
参考答案:
5. 已知函数有零点,则实数的取值范围是( )
A、 B、
C、 D、
参考答案:
B
6. 某校高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图,根据图中的信息,可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为( )
A. 20,2 B. 24,4 C. 25,2 D. 25,4
参考答案:
C
由频率分布直方图可知,组距为的频率为,由茎叶图可知的人数为2,设参加本次考试的总人数为,则所以,根据频率分布直方图可知内的人数与的人数一样,都是,故选C.
7. 已知函数①,②,则下列结论正确的是( )
(A)两个函数的图象均关于点成中心对称
(B)①的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的2倍,再向右平移个单位即得②
(C)两个函数在区间上都是单调递增函数
(D)两个函数的最小正周期相同
参考答案:
C
略
8. 将函数的图象向右平移 个单位,再纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,所得新图象的函数解析式是 ( )
参考答案:
D
9. 已知满足,若目标函数的最小值为5,则的最大值为
A.5 B.8 C.10 D.20
参考答案:
C
10. 已知向量,若,则实数的值为
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. △ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=4,c=5,B=2C,点D为边BC上一点,且BD=6,则△ADC的面积位 .
参考答案:
10
【考点】正弦定理.
【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可求cosC,利用二倍角的余弦函数公式可求cosB=cos2C的值,利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值,由余弦定理可得BC2﹣6BC﹣55=0,解得BC,可求DC的值,进而利用三角形面积公式即可计算得解.
【解答】解:∵b=4,c=5,B=2C,
∴由正弦定理可得: ==,可得:cosC=,
∴cosB=cos2C=2cos2C﹣1=,sinC==,
∴在△ABC中,由余弦定理可得:(4)2=52+BC2﹣2×,
整理可得:BC2﹣6BC﹣55=0,解得:BC=11或﹣5(舍去),
∴DC=BC﹣BD=11﹣6=5,
∴S△ADC=AC?DC?sinC==10.
故答案为:10.
12. 等比数列{an}中,a2=2,a5=16,那么数列{an}的前6项和S6= .
参考答案:
63
13. 设变量x,y满足 ,则z=2x-y的最大值为_________.
参考答案:
7
略
14. 已知等比数列{an}中,a2a4=a5,a4=8,则公比q= ,其前4项和S4= .
参考答案:
2,15
【考点】等比数列的前n项和;等比数列的通项公式.
【分析】设等比数列{an}的公比为q,由a2a4=a5,a4=8,可得q2=a2q3, =8,解得a2,q,利用求和公式即可得出.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,∵a2a4=a5,a4=8,
∴q2=a2q3, =8,解得a2=q=2.
∴a1=1.
其前4项和S4==15.
故答案为:2,15.
15. 设等差数列的前项和为,若,则满足的正整数 .
参考答案:
.
依题意,,,则
,,,所以,即满足的正整数.故填.
【解题探究】本题考查数列的前项和与通项关系的应用.解题首先由得到,的符号,进而推理出.
16. 已知a=dx,在二项式(x2﹣)5的展开式中,含x的项的系数为 .
参考答案:
﹣10
【考点】二项式系数的性质;定积分.
【分析】求定积分求得a的值,在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于1求出r的值,即可求得含x的项的系数.
【解答】解:a=dx=(2x﹣x2)=2﹣1=1,二项式(x2﹣)5 =( x2﹣)5,
∴二项式(x2﹣)5的展开式的通项公式为Tr+1=?(﹣1)r?x10﹣3r,
令10﹣3r=1,求得r=3,含x的项的系数为﹣=﹣10,
故答案为:﹣10.
17. 已知均为单位向量,它们的夹角为,则 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,正四面体中,为线段的中点,求异面直线与所成的角(结果用反三角函数值表示)。(12分)
参考答案:
取线段AB的中点N,连接MN、PN,M、N分别为线段BC、AB的中点,
则,
所以为异面直线与所成的角(或其补角) 5分
设正四面体的棱长为
等边三角形PBC中,M为BC的中点,
等边三角形PBA中,N为BA的中点,
8分
三角形PMN中,
10分
得故异面直线与所成的角为 12分
19. (本题满分10分)
已知的最小正周期为.
(1)求的单调递增区间;
(2)求的最大值和最小值.
参考答案:
解:(1)由已知Ks5u
(2)
所以,,有最大值1, , 有最小值.
略
20. 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=AB=BC=2,且点O为AC中点.
(Ⅰ)证明:A1O⊥平面ABC;
(Ⅱ)求三棱锥C1﹣ABC的体积.
参考答案:
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LW:直线与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)推导出A1O⊥AC,由此能证明A1O⊥平面ABC.
(Ⅱ)推导出C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离,从而,由此能求出三棱锥C1﹣ABC的体积.
【解答】(本小题满分12分)
证明:(Ⅰ)∵AA1=A1C,且O为AC的中点,
∴A1O⊥AC,…
又∵平面AA1C1C⊥平面ABC,
平面AA1C1C∩平面ABC=AC…
且A1O?平面AA1C1C,
∴A1O⊥平面ABC…
解:(Ⅱ)∵A1C1∥AC,A1C1?平面ABC,AC?平面ABC,
∴A1C1∥平面ABC,
即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离…
由(Ⅰ)知A1O⊥平面ABC且,…
∴三棱锥C1﹣ABC的体积:
…
21. 某市的老城区改造建筑用地平面示意图如图所示.经规划调研确定,老城区改造规划建筑用地区域可近似为半径是R的圆面.该圆的内接四边形ABCD是原老城区建筑用地,测量可知边界AB=AD=4万米,BC=6万米,CD=2万米.
(I)请计算原老城区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值;
(II)因地理条件的限制,边界AD、CD不能变更,而边界AB、BC可以调整.为了提高老城区改造建筑用地的利用率,请在上设计一点P,使得老城区改造的新建筑用地APCD的面积最大,并求出其最大值.
参考答案:
解: (1)因为四边形ABCD内接于圆,所以∠ABC+∠ADC=180°,连接AC,由余弦定理:
AC2=42+62-2×4×6cos∠ABC
=42+22-2×2×4cos∠ADC.
∴cos∠ABC=.∵∠ABC∈(0,π),∴∠ABC=60°.
则S四边形ABCD=×4×6×sin60°+×2×4×sin120°=8(万平方米).
在△ABC中,由余弦定理:
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC
=16+36-2×4×6×=28,故AC=2.
由正弦定理得,2R===,∴R=(万米).6分
(2)S四边形APCD=S△ADC+S△APC, S△ADC=AD·CD·sin120°=2.
设AP=x,CP=y,则S△APC=xy·sin60°=xy.
又由余弦定理:AC2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=28.
∴x2+y2-xy≥2xy-xy=xy. ∴xy≤28,当且仅当x=y时取等号.
∴S四边形APCD=2+xy≤2+×28=9,
即当x=y时面积最大,其最大面积为9万平方米.12分
22. 已知椭圆C:(a>b>0)经过点(0, ),离心率为,经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点,点A、F、B在直线x=4上的射影依次为D、K、E.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l交y轴于点M,且,当直线l的倾斜角变化时,探究λ+μ是否为定值?若是,求出λ+μ的值;若不是,说明理由;
(3)连接AE、BD,试探索当直线l的倾斜角变化时,直线AE与BD是否相交于一定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
参考答案:
?3k(x2-1)=2x2k(x1-1)-5k(x1-1)?2kx1x2-5k(x1+x2)+8k=0
【注】:书写可证明:kBP-kDP=···-···=·······,证明值为0.