2022-2023学年河北省邢台市第三十六中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 抛物线上的点到直线距离的最小值是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
略
2. 在复平面内,复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
C
3. 阅读下列程序:
输入x;
if x<0, then y =;
else if x >0, then y =;
else y=0;
输出 y. 如果输入x=-2,则输出结果y为( )
A.-5 B. --5 C. 3+ D. 3-
参考答案:
D
4. 已知实数m和2n的等差中项是4,实数2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是( )
A.2 B.3 C.6 D.9
参考答案:
B
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】由题意列出关于m,n的等式,作和后可得m+n=3得答案.
【解答】解:由题意,m+2n=8,2m+n=10,
两式作和得:3m+3n=18,即m+n=6,
∴m和n的等差中项是3.
故选:B.
5. 二项式的展开式中的系数为( )
A、-5 B、5 C、10 D、-10
参考答案:
D
6. 正弦曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是 ( )
参考答案:
A
7. 由曲线y=,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为( )
A. B.4 C. D.6
参考答案:
C
【考点】定积分在求面积中的应用.
【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键,要确定出曲线y=,直线y=x﹣2的交点,确定出积分区间和被积函数,利用导数和积分的关系完成本题的求解.
【解答】解:联立方程得到两曲线的交点(4,2),
因此曲线y=,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为:
S=.故选C.
8. 某几何体的三视图如图所示,其中正视图和左视图的上半部分 均为边长为2的等边三角形,则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
9. 直线x﹣y+3=0的斜率是( )
A. B. C.D.
参考答案:
A
考点:直线的斜率.
专题:直线与圆.
分析:化直线的一般式方程为斜截式,则直线的斜率可求.
解答:解:由x﹣y+3=0,得y=x+3,即.
∴直线x﹣y+3=0的斜率是.
故选:A.
点评:本题考查了直线的斜率,考查了一般式化斜截式,是基础题.
10. 已知可导函数满足,则当时,和大小关系为
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【分析】
构造函数,求导后可知,从而可确定在上单调递增,得到,整理可得到结果.
【详解】令,则
又, 在上单调递增
,即
本题正确选项:
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性的问题,关键是能够构造出新函数,通过求导得到函数的单调性,将问题转变为新函数的函数值之间的比较问题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若实数a,b,c成等差数列,点P(-1,0)在动直线ax+by+c=0上的射影为M,点N坐标为(3,3),则线段MN长度的最小值是 ▲ .
参考答案:
5 -
12. 某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C3门课由于上课时间相同,至多选1门,若学校规定每位学生选修4门,则不同选修方案共有 种.
参考答案:
75
【考点】计数原理的应用.
【专题】应用题;排列组合.
【分析】由题意分两类,可以从A、B、C三门选一门,再从其它6门选3门,也可以从其他六门中选4门,根据分类计数加法得到结果.
【解答】解:由题意知本题需要分类来解,
第一类,若从A、B、C三门选一门,再从其它6门选3门,有C31C63=60,
第二类,若从其他六门中选4门有C64=15,
∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法.
故答案为:75.
【点评】本题考查分类计数问题,考查排列组合的实际应用,利用分类加法原理时,要注意按照同一范畴分类,分类做到不重不漏.
13. 函数的定义域为___ .
参考答案:
14. 已知函数,则_____
参考答案:
分析:求出f′(1)=﹣1,再根据定积分法则计算即可.
详解:∵f(x)=f'(1)x2+x+1,
∴f′(x)=2f'(1)x+1,
∴f′(1)=2f'(1)+1,
∴f′(1)=﹣1,
∴f(x)=﹣x2+x+1,
∴=(﹣x3+x2+x)=.
故答案为:.
点睛:这个题目考查了积分的应用,注意积分并不等于面积,解决积分问题的常见方法有:面积法,当被积函数为正时积分和面积相等,当被积函数为负时积分等于面积的相反数;应用公式直接找原函数的方法;利用被积函数的奇偶性得结果.
15. 函数的单调递减区间是 .
参考答案:
(﹣∞,1]
【考点】3G:复合函数的单调性.
【分析】由复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为f(x)=x2﹣2x的单调递减区间.
【解答】解:设f(x)=x2﹣2x,则f(x)在(﹣∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
又y=3x为R上的增函数,
∴函数在(﹣∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
故答案为:(﹣∞,1].
16. 如图是甲,乙两名同学5次综合测评成绩的茎叶图,甲乙两人中成绩较为稳定的是
参考答案:
甲
【考点】茎叶图.
【分析】分别求出甲、乙的平均数和方差,由此能求出结果.
【解答】解: =(87+89+91+92+93)=90.4,
= [(87﹣90.4)2+(89﹣90.4)2+(91﹣90.4)2+(92﹣90.4)2+(93﹣90.4)2]=4.64.
=(83+85+96+91+95)=90,
2= [(83﹣90)2+(85﹣90)2+(96﹣90)2+(91﹣90)2+(95﹣90)2]=27.2.
∴<,
∴甲乙两人中成绩较为稳定的是甲.
故答案为:甲.
17. 设曲线x 2 + y 2 + 2 x – 2 y = 0和x y + 2 = 0相交于A、B两点,则弦AB的中垂线的方程是 。
参考答案:
x + y = 0
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设,不等式的解集记为集合.
(Ⅰ)若,求的值.
(Ⅱ)当时,求集合.
参考答案:
,
(),
∴,为两根,
∴代入,
.
(),
两根为,,
①,时,.
②,时或.
③,时,或.
综上:时,或,
时,,
时,或.
19. (本小题满分13分)抛物线,其准线方程为,过准线与轴的交点做直线交抛物线于两点.
(Ⅰ)若点为中点,求直线的方程;
(Ⅱ)设抛物线的焦点为,当时,求的面积.
参考答案:
(Ⅰ)∵抛物线的准线方程为
∴ -----------------------1分
∴抛物线的方程为 -----------------------2分
显然,直线与坐标轴不平行
∴设直线的方程为, -----------------------3分
联立直线与抛物线的方程,得-----------------------4分
,解得或 -----------------------5分
∵点为中点,∴,即
∴解得 -----------------------6分
,∴或
∴ -----------------------7分
直线方程为或. -----------------------8分
(Ⅱ)焦点,
∵
∴ -----------------------11分
-----------------------13分
20. (本题13分)已知圆的方程为C:,求圆上的点到已知直线L:ax+by+c=0 (a2+b2≠0)的最大距离和最小距离。请设计一个算法程序框图,并写出算法程序。
参考答案:
解:求圆C上的点到直线L距离的最大值与最小值的程序框图,运算程序如下:
21. 如图,在正方形AG1G2G3中,点B,C分别是G1G2,G2G3的中点,点E,F分别是G3C,AC的中点,现在沿AB,BC及AC把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后记为G.
(I)判断在四面体GABC的四个面中,哪些面的三角形是直角三角形,若是直角三角形,写出其直角(只需写出结论);
(Ⅱ)请在四面体GABC的直观图中标出点E,F,并求证:EF∥平面ABG;
(Ⅲ)求证:平面EFB⊥平面GBC.
参考答案:
【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【专题】计算题;数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.
【分析】(1)根据折叠前后折痕一侧的角不发生变化可知∠AGB=∠AGC=∠BGC=90°,
(2)根据AG⊥GB,AG⊥GC可得AG⊥平面GBC,故而AG⊥BC;
(3)连结EF,则EF∥AG,故而EF⊥平面GBC,所以平面EFB⊥平面GBC.
【解答】解:(Ⅰ) 在正方形AG1G2G3中,∠G1,∠G2,∠G3都是直角.
沿AB,BC及AC把这个正方形折成四面体GABC后,此三个角度数不变.
即 在四面体GABC的四个面中,
在△AGB中,∠AGB=90°,
在△AGC中,∠AGC=90°,
在△BGC中,∠BGC=90°,△ABC不是直角三角形.
故 分别在平面AGB,平面AGC和平面BGC的三角形是直角三角形.
(Ⅱ)在四面体GABC的直观图中标出点E,F,
证明:因为在△AGC中,点E,F分别是GC,AC的中点,
所以EF∥AG,
因为EF?平面ABG,AG?平面ABG,
所以EF∥平面ABG.
(Ⅲ)证明:在四面体GABC中,∠AGB=90°,∠AGC=90°,
即 AG⊥GB,AG⊥GC,
因为在平面BGC中,GB∩GC=G
所以AG⊥平面BGC.
由(Ⅱ)已证EF∥AG,
所以EF⊥平面BGC.
因为EF?平面EFB
所以平面EFB⊥平面GBC.
【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质,面面垂直的判定,属于中档题.
22. (本小题满分12分)如图,三棱柱中,侧棱垂直底面,,
,是棱的中点。
(I) 证明:⊥平面
(Ⅱ)设,求几何体的体积。
参考答案:
6分
(2),.