江西省吉安市八都中学2022年高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 三棱椎A—BCD的三视图为如图所示的三个直角三角形,则三棱锥A—BCD的表面积为
A.2+2 B.4+4 C. D.2+2
参考答案:
A
2. 已知实数满足不等式组 则目标函数的最小值与最大值的积为
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 200辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速超过60km/h的汽车数量为
(A)65辆 (B)76辆(C)88 辆 (D)辆95
参考答案:
B
4.
棱长为a的正方体的外接球的体积为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
答案:D
5. 若,则实数m得取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 榫卯()是我国古代工匠极为精巧的发明,它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的北京紫禁城,山西悬空寺,福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构. 图中网格小正方形的边长为1,粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图,则其体积与表面积分别为
A. B.
C. D.
参考答案:
C
依题意,该几何体由一个长方体和一个圆柱体拼接而成,故其体积;表面积.
7. 已知,则a,b,c的大小关系是
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 若x>1,则函数的最小值为( )
A.16 B.8 C.4 D.非上述情况
参考答案:
B
略
9. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四面体的三视图,则该四面体的体积为( )
A. B. C. D.2
参考答案:
B
10. 如图,已知等于
A. B.
C. D.
参考答案:
C
,选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若x,y满足约束条件则的最小值为 .
参考答案:
-2
由x,y满足约束条件,作出可行域如图:
联立,解得B(0,1).
化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z,
由图可知,当直线y=x﹣z过B(0,1)时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为:0﹣2×1=﹣2.
故答案为:﹣2.
12. 设函数f(x)=,若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是__________.
参考答案:
考点:导数的运算.
专题:导数的概念及应用.
分析:画出函数f(x)的图象,由 f(f(a))≤2,可得 f(a)≥﹣2,数形结合求得实数a的取值范围.
解答:解:∵函数f(x)=,它的图象如图所示:
由f(f(a))≤2,可得 f(a)≥﹣2.
由f(x)=﹣2,可得﹣x2=﹣2,x≥0,解得x=,
故当f(f(a))≤2时,则实数a的取值范围是a≤;
故答案为:
点评:本题主要考查分段函数的应用,不等式的解法,关键得到f(a)≥﹣2.结合图形得到a的范围,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.
13. 若点P(m+1,n-1)在不等式表示的可行域内,则的取值
范围是
参考答案:
14. 已知函数,当时,有最大值13,则= .
参考答案:
15. 16.①②④
15. 展开式中的系数是 .(用数字作答)
参考答案:
10
展开式的通项为,由,得,所以,即的系数是10.
16. 设全集U=R,集合A={x|x≥2},B={﹣1,0,1,2,3},则(?UA)∩B= .
参考答案:
{﹣1,0,1}
【考点】交、并、补集的混合运算.
【专题】计算题.
【分析】由全集U=R,以及A,找出不属于A的部分,求出A的补集,找出A补集与B的公共部分,即可确定出所求的集合.
【解答】解:∵全集U=R,集合A={x|x≥2},
∴CuA={x|x<2},
又B={﹣1,0,1,2,3},
则(CuA)∩B={﹣1,0,1}.
故答案为:{﹣1,0,1}
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键.
17. 已知数列{an}为等差数列,其前9项和为S9=54,则a5= .
参考答案:
6
【考点】等差数列的前n项和.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】由等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得S9=9a5=54,解方程可得.
【解答】解:由题意和等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得
前9项和S9===9a5=54,
∴a5=6.
故答案为:6.
【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,属基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布,从中随机地抽取了一批考生的成绩,将其分成6组:第一组[40,50),第二组[50,60) ,…,第六组[90,100],作出频率分布直方图,如图所示:
(1)用每组区间的中点值代表该组的数据,估算这批考生的平均成绩和标准差(精确到个位);
(2)以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差,设成绩超过93分的为“优”,现在从总体中随机抽取50名考生,记其中“优”的人数为,是估算的数学期望.
参考答案:
(1)根据题意,计算平均数为
;
(2)依题意
,
;
,
19. (本题满分12分)
已知定义在R上的奇函数f(x)=在x=1处取得极值2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设A(x0,y0)为f(x)图象上任意一点,直线l与f(x)的图象相切于点A,求直线l的斜率k的取值范围.
参考答案:
20. (本题满分18分)设为正整数,规定:,
已知.
(1)解不等式:≤;
(2)设集合{0,1,2},对任意,证明:;
(3)探求;
(4)若集合{,[0,2]},证明:中至少包含有8个元素.
参考答案:
(1)①当0≤≤1时,由≤得,≥.∴≤≤1.
②当1<≤2时,因≤恒成立.∴1<≤2.
由①,②得,≤的解集为{|≤≤2}.
(2)∵,,,
∴当时,;
当时,;
当时,.
即对任意,恒有.
(3),,,
,……
一般地,(N).
.
(4)由(1)知,,∴.则.∴.
由(2)知,对,或1,或2,恒有,∴.则0,1,2.
由(3)知,对,,, ,恒有,∴,,,.
综上所述,,0,1,2,,,,.∴中至少含有8个元素.
21. 已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O,离心率为双曲线y2﹣=1离心率的一半,直线y=x被椭圆E截得的线段长为.直线l:y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆E交于A,B两个相异点,且=λ.
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在实数m,使+λ=4?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.
【分析】(1)由双曲线的离心率求得椭圆的离心率,求得a=2b,将y=x代入椭圆方程,由2××=,即可求得a的值,求得椭圆方程;
(2)当m=0时,O,P重合,λ=1显然成立,当m≠0时求得λ=3,将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及向量的坐标运算,求得k2=,m2≠1,由△>0,即可求得m的取值范围.
【解答】解:(1)设椭圆的方程为(a>b>0),双曲线双曲线y2﹣=1离心率e=,
由椭圆的离心率e===,则a=2b,
将y=x代入椭圆,解得:x=±,
∴2××=,解得:a=2,
∴椭圆E的方程为;
(2)假设存在实数m,使+λ=4成立,
由题意可得P(0,m),
当m=0时,O,P重合,λ=1显然成立,
当m≠0时,由=λ,可得﹣=λ(﹣),则+λ=(1+λ),
∴λ=3,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由=3,可得x1=﹣3x2①
,整理得:(k2+4)x2+2kmx+m2﹣4=0,
∴x1+x2=﹣,x1x2=,②
由①②可得:m2k2+m2﹣k2﹣4=0,则k2=,m2≠1,
由△=(2km)2﹣4(k2+4)(m2﹣4)>0,则k2+4﹣m2>0,
∴k2+4﹣m2=+4﹣m2=>0,则1<m2<4,
解得:﹣2<m<﹣1或1<m<2,
综上可得:m的取值范围是(﹣2,﹣1)∪(1,2)∪{0}.
【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆位置关系,考查韦达定理,向量的坐标运算,考查计算能力,属于中档题.
22. 如图直三棱柱的侧棱长为,,且,点分别是棱上的动点,且.
(1)求证:无论在何处,总有 ;
(2)当三棱锥的体积取得最大值时,异面直
线与所成角的余弦值.
参考答案:
(Ⅰ)∵BB′C′C是正方形,∴B′C⊥BC′。
又∵AB⊥BC,BB′⊥AB,∴AB⊥平面BB′C′C。
∴B′C⊥AB,∴B′C⊥平面ABC′,
又∵C′E平面ABC′,∴B′C⊥C′E。
(Ⅱ)设三棱锥B′—EBF的体积为。当时取等号。
故当即点E,F分别是棱AB,BC上的中点时,体积最大,则|cos∠A′FE|为所求;。
略