2022-2023学年江西省宜春市翰堂中学高三数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 点P是以为焦点的椭圆上的一点,过焦点作的外角平分线的垂线,垂足为M点,则点M的轨迹是
(A)抛物线 (B)椭圆
(C)双曲线 (D)圆
参考答案:
D
由题意,延长交延长线于Q,得,由椭圆的定义知PF1+PF2=2a,故有PF1+PQ=QF1=2a,连接OM,知OM是三角形F1F2Q的中位线
∴OM=a,即点M到原点的距离是定值,由此知点M的轨迹是圆,故选D
2. 设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题错误的是( )
A.若d<0,则数列{Sn}有最大项;
B.若数列{}有最大项,则d<0;
C.若对任意n∈N*,均有>0,则数列{}是递增数列;
D.若数列{}是递增数列,则对任意n∈N*,均有>0;
参考答案:
D
略
3. 用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体被抽到的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 已知函数,若f(a)=1则f(-a)=()
A.0 B.-1 C.-2 D.-3
参考答案:
D
考查奇函数特性
,故选D
5. 函数的零点所在的可能区间是
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
B
6. 已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于,若将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,则的解析式是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
7. 对于任意的实数a、b,记max{a,b}=.若F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,且在x=1处取得极小值-2,函数y=g(x) (x∈R)是正比例函数,其图象与x≥0时的函数y=f(x)的图象如图所示,则下列关于函数y=F(x)的说法中,正确的是( )
A.y=F(x)为奇函数
B.y=F(x)有极大值F(-1)
C.y=F(x)的最小值为-2,最大值为2
D.y=F(x)在(-3,0)上为增函数
参考答案:
B
8. 设,,则( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
9. 已知三棱锥中,, 直线与底面所成角为,则此时三棱锥外接球的表面积为
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 已知抛物线上的点M到其准线的距离为5,直线l交抛物线于A,B两点,且AB的中点为,则M到直线l的距离为( )
A.或 B.或 C.或 D.或
参考答案:
B
根据题意设A,由点差得到
故直线l可以写成
点到其准线的距离为,可得到M的横坐标为4,将点代入抛物线可得到纵坐标为4或-4,
由点到直线的距离公式得到,M点到直线的距离为或.
故答案为:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______.
参考答案:
12. (12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .
参考答案:
13. (4分)(2010?东城区二模)已知向量=(1,1),?=3,,则||= _________ ,||= _________ .
参考答案:
14. 变量、满足线性约束条件,则目标函数的最大值为 .
参考答案:
作出不等式组所表示的可行域如图所示,联立得,作直线,则为直线在轴上的截距,当直线经过可行域上的点时,直线在轴上的截距最大,此时取最大值,即.
15. 如果复数z =(b?R)的实部与虚部相等,则z的共轭复数= ▲ .
参考答案:
1–i
16. (几何证明选讲选做题)
如图,是圆的一条弦,延长至点,使得,过作圆的切线,为切点,的平分线交于点,则的长为 .
参考答案:
17. 在中,已知,则的长为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求数列的通项公式;
(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.
参考答案:
(Ⅰ) 依题意,,又,所以;
(Ⅱ) 当时,,
两式相减得
整理得,即,又
故数列是首项为,公差为的等差数列,
所以,所以.
(Ⅲ) 当时,;当时,;
当时,,此时
综上,对一切正整数,有.
19. 本小题共16分,第1小题4分,第2小题5分,第3小题7分)
设函数,
(1)求函数;
(2)当,有意义时,写出在上的单调区间;
(3)记,若存在实数使得函数在上的值域是,求实数的取值范围。
参考答案:
⑴
⑵
当
⑶⑴
⑵当
代入矛盾,∴也不可能。
⑶当
记得:综上,
20. 命题,其中,命题实数满足或,且是的必要不充分条件,求的取值范围。
参考答案:
略
21. 如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分),已知甲代表队数据的中位数为76,乙代表队数据的平均数是75.
(1)求x,y的值;
(2)若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生,求抽到的学生中,甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率;
(3)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明理由(方差较小者稳定).
参考答案:
【考点】极差、方差与标准差;茎叶图.
【分析】(1)按大小数列排列得出x值,运用平均数公式求解y,
(2)判断甲乙两队各随机抽取一名,种数为3×4=12,列举得出甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80,80;82,80;88,80;88,86;88,88.种数为3+1+1=5,运用古典概率求解.
(3)求解甲的平均数,方差,一点平均数,方差,比较方差越小者越稳定,越大,波动性越大.得出结论:甲队的方差小于乙队的方差,所以甲队成绩较为稳定.
【解答】解:(1)因为甲代表队的中位数为76,其中已知
高于76的有77,80,82,88,低于76的有71,71,
65,64,所以x=6,
因为乙代表队的平均数为75,其中超过75的差值为
5,11,13,14,和为43,少于75的差值为3,5,
7,7,19,和为41,所以y=3,
(2)甲队中成绩不低于80的有80,82,88;
乙队中成绩不低于80的有80,86,88,89,
甲乙两队各随机抽取一名,种数为3×4=12,
其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80,80;82,80;88,80;88,86;88,88.种数为3+1+1=5,所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为p=,
(3)因为甲的平均数为:
=(64+65+71+71+76+76+77+80+82+88)=75,
所以甲的方差S2甲= [(64﹣75)2+(65﹣75)2+2×(71﹣75)2+2×(76﹣75)2+(77﹣75)2+(80﹣75)2+(82﹣75)2+(88﹣75)2]=50.2,
又乙的方差S2乙= [(56﹣75)2+2×(68﹣75)2+(70﹣75)2+(72﹣75)2+(73﹣75)2+(80﹣75)2+(86﹣75)2+(88﹣75)2+(89﹣75)2]=100.8,
因为甲队的方差小于乙队的方差,所以甲队成绩较为稳定.
22. 某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样了x?46%=230人,回答问题统计结果如图表所示.
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的概率
第1组
[15,25)
5
0.5
第2组
[25,35)
a
0.9
第3组
[35,45)
27
x
第4组
[45,55)
b
0.36
第5组
[55,65)
3
y
(Ⅰ)分别求出a,b,x,y的值;
(Ⅱ)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.
参考答案:
(Ⅰ)第1组人数5÷0.5=10,所以n=10÷0.1=100,…(1分)
第2组人数100×0.2=20,所以a=20×0.9=18,…(2分)
第3组人数100×0.3=30,所以x=27÷30=0.9,…(3分)
第4组人数100×0.25=25,所以b=25×0.36=9…(4分)
第5组人数100×0.15=15,所以y=3÷15=0.2.…(5分)
(Ⅱ)第2,3,4组回答正确的人的比为18:27:9=2:3:1,
所以第2,3,4组每组应各依次抽取2人,3人,1人.…(8分)
(Ⅲ)记抽取的6人中,第2组的记为a1,a2,第3组的记为b1,b2,b3,第4组的记为c,
则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种,
它们是:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c),(a2,b1),
(a2,b2),(a2,b3),(a2,c),(b1,b2),(b1,b3),(b1,c),
(b2,b3),(b2,c),(b3,c).…(10分)
其中第2组至少有1人的情况有9种,
它们是:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c),(a2,b1),
(a2,b2),(a2,b3),(a2,c).
故所求概率为.…(12分)