广东省茂名市第二十中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0. 3)内是增函数的是
(A) y= (B) y=coss
(C)y= (D) y=x+x-1
参考答案:
A
2. 设方程的两个根分别为,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 已知数列{an}中,a1=a2=1,且an+2﹣an=1,则数列{an}的前100项和为( )
A.2550 B.2600 C.2651 D.2652
参考答案:
A
【考点】等差数列的前n项和.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】a1=a2=1,且an+2﹣an=1,可得数列{an}奇数项与偶数项分别成等差数列,公差与首项都为1.利用等差数列的前n项和公式即可得出.
【解答】解:∵a1=a2=1,且an+2﹣an=1,
∴数列{an}奇数项与偶数项分别成等差数列,公差与首项都为1.
∴数列{an}的前100项和=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)
=
=2550.
故选:A.
【点评】本题考查了等差数列的定义通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
4. 已知正实数a,b满足a2﹣b+4≤0,则u=( )
A.有最大值为 B.有最小值为
C.没有最小值 D.有最大值为3
参考答案:
B
【考点】7F:基本不等式.
【分析】a2﹣b+4≤0,可得b≥a2+4,a,b>0.可得﹣≥﹣,再利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵a2﹣b+4≤0,∴b≥a2+4,a,b>0.
∴a+b≥a2+a+4,
∴≤,
∴﹣≥﹣,
∴u==3﹣≥3﹣=3﹣≥3﹣=,当且仅当a=2,b=8时取等号.
故选:B.
5. 在△ABC中,若,则△ABC一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
参考答案:
A
【考点】正弦定理.
【分析】由,得sin=sin,?,
【解答】解:∵=cos=sin,?,则△ABC是等腰三角形,
故选:A.
6. 已知i为虚数单位,则复数z=在复平面内表示的点位于( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
参考答案:
B
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【专题】数系的扩充和复数.
【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简复数z,然后求出复数z在复平面内对应的点的坐标,则答案可求.
【解答】解:由=,
则复数z在复平面内对应的点的坐标为(,),
位于第三象限.
故选:B.
【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.
7. 运行如图所示的程序,若结束时输出的结果不小于3,则t的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】循环结构.
【分析】第一次执行循环结构:n←0+2,第二次执行循环结构:n←2+2,第三次执行循环结构:n←4+2,此时应终止循环结构.求出相应的x、a即可得出结果.
【解答】解:第一次执行循环结构:n←0+2,x←2×t,a←2﹣1;∵n=2<4,∴继续执行循环结构.
第二次执行循环结构:n←2+2,x←2×2t,a←4﹣1;∵n=4=4,∴继续执行循环结构,
第三次执行循环结构:n←4+2,x←2×4t,a←6﹣3;
∵n=6>4,∴应终止循环结构,并输出38t.
由于结束时输出的结果不小于3,
故38t≥3,即8t≥1,解得t.
故答案为:B.
8. 已知集合A={x|0<x<3},B={x|(x+2)(x﹣1)>0},则A∩B等于( )
A.(0,3) B.(1,3) C.(2,3) D.(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞)
参考答案:
B
【考点】交集及其运算.
【分析】化简集合B,根据交集的定义写出A∩B.
【解答】解:集合A={x|0<x<3},
B={x|(x+2)(x﹣1)>0}={x|x<﹣2或x>1},
所以A∩B={x|1<x<3}=(1,3).
故选:B.
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目.
9. 等差数列{an},a1,a2025是的极值点,则=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
A
【考点】等差数列的通项公式.
【专题】计算题;方程思想;数学模型法;导数的综合应用;等差数列与等比数列.
【分析】求出原函数的导函数,利用等差数列的性质求得a1013,代入,由对数的运算性质得答案.
【解答】解:由,得f′(x)=x2﹣8x+6,
由f′(x)=x2﹣8x+6=0,且a1,a2025是的极值点,
得a1+a2025=2a1013=8,∴a1013=4,
则=log24=2.
故选:A.
【点评】本题考查导数运算,考查了等差数列的通项公式,考查了对数的运算性质,是基础的计算题.
10. 若偶函数f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,a=f(log23),b=f(log45),c=f(2),则a,b,c满足( )
A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a
参考答案:
B
【考点】3F:函数单调性的性质;4M:对数值大小的比较.
【分析】由偶函数f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,可得f(x)在{0,+∞)上单调递增,比较三个自变量的大小,可得答案.
【解答】解:∵偶函数f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,
∴f(x)在{0,+∞)上单调递增,
∵2>log23=log49>log45,2>2,
∴f(log45)<f(log23)<f(2),
∴b<a<c,
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x2-y2=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=
参考答案:
2
12. 某几何体的三视图(单位:cm)如下图,则这个几何体的表面积为_____________cm2 .
参考答案:
略
13. 一平面截一球得到直径为cm的圆面,球心到这个平面的距离是2 cm,则该球的体积是 .
参考答案:
14. 过点作直线交抛物线x2=2py(p>0)于A、B且M为A、B中点,过A、B分别作抛物线切线,两切线交于点N,若N在直线y=﹣2p上,则p= .
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的关系.
【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由抛物线x2=2py(p>0),得y′=,设A(x1,y1),B(x2,y2),过点A的切线方程为x1x=p(y+y1),过点B的切线方程为x2x=p(y+y2),由已知得点A,B在直线xx0=p(y0+y)上,由此能求出p的值.
【解答】解:由抛物线x2=2py(p>0),得y′=,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴过点A的切线方程为:y﹣y1=,即x1x=p(y+y1),
同理求得过点B的切线方程为:x2x=p(y+y2),
设N(x0,y0),∵过A、B分别作抛物线切线,两切线交于点N,
∴,
∴点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线xx0=p(y0+y)上,
∵直线AB过定点M(1,2),∴,
∵N在直线y=﹣2p上,∴N(0,﹣2),
∴p=.
故答案为:.
【点评】本题考查抛物线中参数p的值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数的几何意义的合理运用.
15. 已知一元二次不等式的解集为,则的解集为_______。
参考答案:
略
16. (5分)函数y=sin2x+1的最小正周期为 .
参考答案:
π
【考点】: 三角函数的周期性及其求法.
【专题】: 计算题.
【分析】: 直接利用三角函数的周期公式,求出函数的周期即可.
解:由三角函数的周期公式可知,
函数y=sin2x+1的最小正周期为T=
故答案为π.
【点评】: 本题考查三角函数的周期公式的应用,是基础题,送分题.
17. 设,函数的图象若向右平移个单位所得到的图象与原图象重合,若向左平移个单位所得到的图象关于轴对称,则的值为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=|x+a|+|2x﹣1|(a∈R).
(l)当a=1,求不等式f(x)≥2的解集;
(2)若f(x)≤2x的解集包含[,1],求a的取值范围.
参考答案:
【考点】绝对值不等式的解法.
【专题】不等式.
【分析】对第(1)问,利用零点分段法,令|x+1|=0,|2x﹣1|=0,获得分类讨论的标准,最后取各部分解集的并集即可;
对第(2)问,不等式f(x)≤2x的解集包含[,1],等价于f(x)≤2x在[,1]内恒成立,由此去掉一个绝对值符号,再探究f(x)≤2x的解集与区间[,1]的关系.
【解答】解:(1)当a=1时,由f(x)≥2,得|x+1|+|2x﹣1|≥2,
①当x≥时,原不等式可化为(x+1)+(2x﹣1)≥2,得x≥,
∴x≥;
②当﹣1≤x<时,原不等式可化为(x+1)﹣(2x﹣1)≥2,得x≤0,
∴﹣1≤x≤0;
③当x<﹣1时,原不等式可化为﹣(x+1)﹣(2x﹣1)≥2,得x≤,
∴x<﹣1.
综上知,原不等式的解集为{x|x≤0,或}.
(2)不等式f(x)≤2x的解集包含[,1],等价于f(x)≤2x在[,1]内恒成立,
从而原不等式可化为|x+a|+(2x﹣1)≤2x,即|x+a|≤1,
∴当x∈[,1]时,﹣a﹣1≤x≤﹣a+1恒成立,
∴,解得,
故a的取值范围是[﹣].
【点评】1.本题考查了含两个绝对值不等式的解法,一般有零点分段法,函数图象法等.
2.第(2)问的关键是将条件转换成不等式恒成立问题,这也是本题的难点所在.
19. (14分)已知函数 f(x)=x2﹣(3a+1)x+2a(a+1)lnx(a>0)
(Ⅰ)若函数f(x)在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行,求a的值:
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)在(I)的条什下,若对职?x∈[1,e],f(x)≥k2+6k恒成立,求实数k的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
【专题】导数的综合应用.
【分析】(Ⅰ)由导数值即曲线的斜率即可求得;
(Ⅱ)利用导数求函数的单调区间,注意对a进行讨论;
(Ⅲ)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题解决,对?x∈[1,e],f(x)≥k2+6k恒成立,即求f(x)min≥k2+6k恒成立.
【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=x﹣(3a+1)+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分
∵函数f(x)在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行,
∴f′(1)=1﹣(3a+1)+2a(a+1)=3,即2a2﹣a﹣3=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分
解得a=或a=﹣1(不符合题意,舍去),∴a=.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分
(Ⅱ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=x﹣(3a+1)+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分
①当0<a<1时,2a<a+1,∴当0<x<2a或x>a+1时,f′(x)>0,
当2a<x<a+1时,f′(x)