广东省茂名市高州大坡中学2022-2023学年高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在R上定义运算⊙:,则满足的实数的取值范围为( )
A.(0,2) B.(-2,1) C. D.(-1,2)
参考答案:
B
2. 若双曲线M:﹣=1(m>0)的离心率为2,则双曲线N:x2﹣=1的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=±2x
参考答案:
A
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据双曲线的离心率求出m=2,然后结合双曲线的渐近线方程进行求解即可.
【解答】解:由双曲线方程得a2=m,b2=6,c2=m+6,
∵双曲线M:﹣=1(m>0)的离心率为2,
∴=e2=4,即,得m+6=4m,3m=6,得m=2,
则双曲线N:x2﹣=1的渐近线y=x=y=±x,
故选:A
3. 如图所示程序执行后输出的结果是( )
A.-1 B.0 C.1 D2
参考答案:
C
略
4. 过点的直线与圆相交于,两点,则的最小值为( )
A.2 B. C.3 D.
参考答案:
B
略
5. 函数的图像大致为( )
参考答案:
B
6. 过抛物线y=x2上的点M()的切线的倾斜角( )
A.30° B.45° C.60° D.135°
参考答案:
B
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求得函数的导数,求得切线的斜率,由直线的斜率公式,可得倾斜角.
【解答】解:y=x2的导数为y′=2x,
在点的切线的斜率为k=2×=1,
设所求切线的倾斜角为α(0°≤α<180°),
由k=tanα=1,
解得α=45°.
故选:B.
7. 用反证法证明命题:若整系数一元二次方程有有理根,那么中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是( )
A.假设都是偶数
B.假设都不是偶数
C.假设至多有一个是偶数
D.假设至多有两个是偶数
参考答案:
B
略
8. 已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是( )
A.(0,3) B.(0,3]C.(0,2) D.(0,2]
参考答案:
D
略
9. 三棱锥中,,, ⊥底面,且,则此三棱锥外接球的半径为
(A) (B) (C)2 (D)
参考答案:
B
10. 若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点,则k的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.[﹣1,﹣) C.(,1] D.(﹣∞,﹣1]
参考答案:
B
【考点】直线与圆锥曲线的关系.
【分析】将曲线方程变形判断出曲线是上半圆;将直线方程变形据直线方程的点斜式判断出直线过定点;画出图形,数形结合求出满足题意的k的范围.
【解答】解:曲线即x2+y2=4,(y≥0)
表示一个以(0,0)为圆心,以2为半径的位于x轴上方的半圆,如图所示:
直线y=kx+4+2k即y=k(x+2)+4
表示恒过点(﹣2,4)斜率为k的直线
结合图形可得
,
∵解得
∴要使直线与半圆有两个不同的交点,k的取值范围是
故选B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下图是一个几何体的三视图,那么这个几何体的表面积是__________.
参考答案:
12. 把数列{2n+1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),…在第100个括号内的最后一个数字为 .
参考答案:
501
【考点】归纳推理.
【分析】由an=2n+1可得数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27,),(29,31,33),(35,37,39,41),…,每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号,故第100个括号内各数是第25组中第4个括号内各数.由分组规律知,由各组第4个括号中所有第1个数,所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列,公差均为20,可得结论.
【解答】解:由已知可知:原数列按1、2、3、4项循环分组,每组中有4个括号,每组中共有10项,
因此第100个括号应在第25组第4个括号,
该括号内四项分别为a247、a248、a249、a250,
因此第100个括号内的最后一个数字a250=501,
故答案为501.
【点评】本题综合考查了等差数列,考查归纳推理的应用,本题关键是确定第100个括号里有几个数,第1个最后一个是几,这就需要找到规律.
13. 化简= .
参考答案:
14. 函数则的最大值是________.
参考答案:
【分析】
化简函数为,结合求最值即可.
【详解】,由,
,则的最大值为.
【点睛】本题主要考查了三角函数的化一公式及区间上求最值的计算,属于基础题.
15. 已知函数在(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围是______.
参考答案:
【分析】
根据题意求出的导函数,然后令在上小于等于零恒成立,由二次函数的性质求出函数值的范围,即可得到的取值范围。
【详解】由可得:,
函数在上单调递减,
在上恒成立,
在上恒成立,
根据二次函数图像的性质可知要使在上恒成立,
则: ,解得: ,
的取值范围是,
故答案为
【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性的知识,考查学生转化划归思想的运用能力,属于中档题。
16. 在数列在中,,,,其中为常数,则_____
参考答案:
-1
17. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下:0001,0002,0003,,1000,打算从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的办法分成50个部分。如果第一部分编号为0001,0002,,0020,从中随机抽取一个号码为0015,则第40个号码为
参考答案:
0795
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知函数,函数
⑴当时,求函数的表达式;
⑵若,函数在上的最小值是2 ,求的值;
⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.
参考答案:
解:⑴∵,
∴当时,; 当时,
∴当时,; 当时,.
∴当时,函数.
⑵∵由⑴知当时,,
∴当时, 当且仅当时取等号.
∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴.
⑶由解得
∴直线与函数的图象所围成图形的面积
=
略
19. 直角梯形ABCD,上底AD=1,下底BC=4,直角腰AB=2,以斜腰CD所在直线为旋转轴旋转一周形成一个几何体。
(1)叙述该几何体的结构特征
(2)画出该几何体的三视图
参考答案:
略
20. 已知α∈(,π),且sin+cos=
(1)求sinα的值;
(2)求cos(2α+)的值.
参考答案:
(1)由sin+cos=两边平方化简整理即可得sinα的值;
(2)由α∈(,π)和sinα的值,即可求出cosα,再由二倍角公式求出sin2α和cos2α,再由两角和的余弦公式计算得答案.
解:(1)∵sin+cos=,
∴(sin+cos)2=,即.
∴.
∴sinα=;
(2)∵α∈(,π),sinα=,
∴.
∴sin2α=2sinαcosα=,
.
∴cos(2α+)==.
21. 已知曲线从C上一点Qn(xn,yn)作x轴的垂线,交Cn于点Pn,再从点Pn作y轴的垂线,交C于点Qn+1(xn+1,yn+1)。设x1=1,an=xn+1-xn,bn=yn-yn+1
①求Q1,Q2的坐标 ;②求数列{an}的通项公式;
③记数列{an ·bn}的前n项和为Sn,求证:
参考答案:
解:①由题意知
……2分
②
……8分
③ ……10分
……11分
……13分
……14分
22. 复数且,z对应的点在第一象限内,若复数对应的点是正三角形的三个顶点,求实数a,b的值.
参考答案:
,
【详解】试题分析:解:,
由,得. ①
复数0,,对应的点是正三角形的三个顶点,
,
把代入化简,得. ②
又点在第一象限内,,.
由①②,得
故所求,.
考点:本题主要考查复数的概念及代数运算,复数的几何意义。
点评:综合题,对学生运用数学知识分析问题解决问题的能力要求较高。关键是要注意数形结合,利用图象的的特征。