2022-2023学年河南省焦作市温县第四高级中学高三数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且,则的值是( )
A. B. C. D.0
参考答案:
A
【考点】向量在几何中的应用;直线和圆的方程的应用.
【专题】计算题.
【分析】直线与圆有两个交点,知道弦长、半径,不难确定∠AOB的大小,即可求得?的值.
【解答】解:取AB的中点C,连接OC,,则AC=,OA=1
∴sin =sin∠AOC==
所以:∠AOB=120°
则?=1×1×cos120°=.
故选A.
【点评】本题主要考查了直线和圆的方程的应用,以及向量的数量积公式的应用,同时考查了计算能力,属于基础题.
2. 复数z满足z(1+i)=|1﹣i|,则复数z的虚部是( )
A.﹣1 B.1 C.﹣ D.
参考答案:
C
【考点】复数代数形式的混合运算.
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.
【解答】解:∵z(1+i)=|1﹣i|,∴z(1+i)(1﹣i)=(1﹣i),∴z=﹣i,
则复数z的虚部是﹣,
故选:C.
3. 从(其中)所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个,则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
一一列举可知方程表示的圆锥曲线方程有7个,其中焦点在x轴上的双曲线方程有4个,所以所求概率为.
4. 已知为第二象限角,且,则的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 设满足,则
A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值
C. 有最大值3,无最小值 D.既无最大值,也无最小值
参考答案:
B
6. 在双曲线:中,,分别为的左、右焦点,为双曲线上一点且满足,则( )
A.108 B.112 C.116 D.120
参考答案:
C
7. 已知数列{an}满足an+1﹣an=2,a1=﹣5,则|a1|+|a2|+…+|a6|=( )
A.9 B.15 C.18 D.30
参考答案:
C
【考点】数列的求和.
【分析】利用等差数列的通项公式可得an.及其数列{an}的前n项和Sn.令an≥0,解得n,分类讨论即可得出.
【解答】解:∵an+1﹣an=2,a1=﹣5,∴数列{an}是公差为2的等差数列.
∴an=﹣5+2(n﹣1)=2n﹣7.
数列{an}的前n项和Sn==n2﹣6n.
令an=2n﹣7≥0,解得.
∴n≤3时,|an|=﹣an.
n≥4时,|an|=an.
则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2(32﹣6×3)=18.
故选:C.
【点评】本题考查了分类讨论方法、等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
8. 已知是非零向量且满足则的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
参考答案:
D
9. 已知,,则( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
C
试题分析:因为,所以,故选C.
考点:向量的坐标运算.
10. 不等式≥2的解集为( )
A.[﹣1,0) B.[﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1] D.(﹣∞,﹣1]∪(0,+∞)
参考答案:
A
【考点】其他不等式的解法.
【分析】本题为基本的分式不等式,利用穿根法解决即可,也可用特值法.
【解答】解:????﹣1≤x<0
故选A
【点评】本题考查简单的分式不等式求解,属基本题.在解题中,要注意等号.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为 * * * * .
参考答案:
12. 计算__________.
参考答案:
31
原式
.
13. 在中,,,是的外心,若,则 .
参考答案:
14. 已知,求
(1)的值;
(2)的值。
参考答案:
解:(1)法一:由已知sinα=2cosα,∴原式=;
法二:∵,∴cosα≠0,∴原式==。
(2)==
=
略
15.
如果复数的实部和虚部相等,则实数等于 。
参考答案:
答案:
16. 不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为____________
参考答案:
17. 设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数T使得对任意的,有x+TD,且f(x+T)≥f(x),则称函数f(x)为M上的T高调函数.
(1)现给出下列命题:①函数f(x)=为(0,+)上的T高调函数;②函数f(x)=sinx为R上的2高调函数;③如果定义域为 [-l,)的函数f(x)=x2为[-1,)上的m高调函数,那么实数m的取值范围是[2,+∞).其中正确命题的序号是 ;
(2)如果定义域为R的函数f(x)是奇函数,当x≥0 时,f(x)=,且f(x)为R上的4高调函数,那么实数a的取值范围是 。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB⊥侧面BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2,∠BCC1=.
(1)求证:C1B⊥平面ABC;
(2)设=λ(0≤λ≤1),且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°,试求λ的值.
参考答案:
考点:与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定.
专题:空间角.
分析:(1)由已知条件推导出AB⊥BC1,BC⊥BC1,由此能证明C1B⊥平面ABC.
(2)以B为原点,BC,BA,BC1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.利用向量法能求出λ的值.
解答: (1)证明:AB⊥侧面BB1C1C,BC1?侧面BB1C1C,∴AB⊥BC1,
在△BCC1中,BC=1,CC1=BB1=2,∠BCC1=,
由余弦定理得:B=BC2+C﹣2BC?CC1?cos∠BCC1
=12+22﹣2×1×2×cos=3,
∴BC1=,…3 分
∴BC2+B=C,∴BC⊥BC1,
∵BC∩AB=B,∴C1B⊥平面ABC.…
(2)解:由(1)知,BC,BA,BC1两两垂直,
以B为原点,BC,BA,BC1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
则,.…
∴,∴,∴,
则.
设平面AB1E的法向量为,
则,∴,
令,则,∴.…
∵AB⊥侧面BB1C1C,∴=(0,1,0)是平面BEB1的一个法向量,
∴|cos<>|=||=,
两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0,
∴λ=1或(舍去).…
∴λ的值是1.
点评:本题考查直线与平面垂直的证明,考查满足条件的实数值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
19. (本小题满分12分)
在如图所示的几何体中,底面为菱形,,,且,平面,底面.
(Ⅰ)求二面角的大小;
(Ⅱ)在上是否存在一点,使得平面,若存在,求的值,若不存在,说明理由.
参考答案:
.解:(I)设与交于,如图所示建立空间直角坐标系,设,则,设则,
……2分
解得,……4分
,设平面的法向量为,
则,令,
……6分
又平面的法向量为
所以所求二面角的大小为…………………………………8分
(Ⅱ)设得
……10分
,,解得,
存在点使面此时…………12分
略
20. 在中,角的对边分别为,已知,,且.
1.求角的大小;
2.若,面积为,试判断的形状,并说明理由.
参考答案:
由 得 ,故, ……2分
由正弦定理得 ……4分
……5分
……7分
2】. 由,
余弦定理得
整理得,
.
(其他解法,可根据【解1】的评分标准给分)
(2)即 ……10分
又, ……12分
故 所以,为等边三角形. ……14分
21. 已知数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为,.
(Ⅰ)计算f(1),f(2),f(3)的值;
(Ⅱ)比较f(n)与1的大小,并用数学归纳法证明你的结论.
参考答案:
【考点】数列递推式;用数学归纳法证明不等式.
【分析】(1)此问根据通项公式计算出前n项的和.当n=1时,f(1)=s2;当n=2时,f(2)=s4﹣s1=a2+a3;当n=3时,f(3)=s6﹣s2.(2)当n=1时,≥1.当n≥2时,f(n)中没有a1,因此都小于1.
【解答】解:(Ⅰ)由已知,,;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(1)>1,f(2)>1;当n≥3时,猜想:f(n)<1.
下面用数学归纳法证明:
(1)由(Ⅰ)当n=3时,f(n)<1;
(2)假设n=k(k≥3)时,f(n)<1,即,那么===,
所以当n=k+1时,f(n)<1也成立.由(1)和(2)知,当n≥3时,f(n)<1.
所以当n=1,和n=2时,f(n)>1;当n≥3时,f(n)<1.
22. “城中观海”是近年来国内很多大中型城市内涝所致的现象,究其原因,除天气因素、城市规划等原因外,城市垃圾杂物也是造成内涝的一个重要原因。暴雨会冲刷城市的垃圾杂物一起进入下水道,据统计,在不考虑其它因素的条件下,某段下水道的排水量V(单位:立方米/小时)是杂物垃圾密度x(单位:千克/立方米)的函数。当下水道的垃圾杂物密度达到2千克/立方米时,会造成堵塞,此时排水量为0;当垃圾杂物密度不超过0.2千克/立方米时,排水量是90立方米/小时;研究表明,时,排水量V是垃圾杂物密度x的一次函数。
(Ⅰ)当时,求函数V(x)的表达式;
(Ⅱ)当垃圾杂物密度x为多大时,垃圾杂物量(单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量,单位:千克/小时)可以达到最大,求出这个最大值。
参考答案:
略