2022-2023学年浙江省金华市东阳中天中学高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知抛物线的焦点为,准线为,以为圆心,且与相切的圆与抛物线相交于,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 已知函数的部分图像如图所示,向图中的矩形区域随机投出100粒豆子,记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验,算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39,由此可估计的值约为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【知识点】几何概型积分
【试题解析】 表示阴影部分的面积s。因为所以s=。
故答案为:D
3. 若f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+3)=f(x),f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )
A.5 B.4
C.3 D.2
参考答案:
B
略
4. 已知双曲线:的焦距为,焦点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的离心率为
A.2 B. C. D.
参考答案:
双曲线焦点到渐近线的距离为,即,又,代入得
,解得,即,故选.
5. 已知函数,现有如下说法:
①函数的单调增区间为和;
②不等式的解集为;
③函数有6个零点.
则上述说法中,正确结论的个数有( )
A. 0个 B. 1个 C.2个 D.3个
参考答案:
C
作出的图象如下所示,观察可知函数的单调增区间为,故①正确;解得,故②正确;令,解得,而有3个解;分别令,即分别有,结合的图象可知,方程有4个实数解,即函数有4个零点,故③错误,故选C.
6. 已知函数有两个零点,则( )
A. B. C. D.
10.已知,若,使得f(x1)≥g(x2)
则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.∪[来源
参考答案:
A
7. ,,则的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
8. 设,则的最小值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
略
9. 已知函数f(x)=sin(2x﹣)(x∈R)下列结论错误的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)是偶函数
C.函数f(x)在区间[0,]上是增函数
D.函数f(x)的图象关于直线x=对称
参考答案:
D
【考点】正弦函数的图象.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.
【分析】由条件利用诱导公式、余弦函数的单调性以及它的图象的对称性,得出结论.
【解答】解:对于函数f(x)=sin(2x﹣)=﹣cos2x,
它的最小正周期为=π,且函数f(x)为偶函数,故A、B正确;
在区间[0,]上,2x∈[0,π],故函数f(x)在区间[0,]上是减函数;
当x=时,f(x)=0,不是最值,故函数f(x)的图象不关于直线x=对称,
故选:D.
【点评】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性以及它的图象的对称性,属于基础题.
10. 已知数列 的通项为 ,,则“ ”是“ ”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
参考答案:
【知识点】充分条件;必要条件. A2
A 解析:因为,所以对于n∈恒成立,所以”是“ ”的充分不必要条件 .
【思路点拨】先求出的条件,再根据充分性、必要性的判定方法确定结论.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知随机变量ξ的概率分布列为:
ξ
0
1
2
P
则Eξ= ,Dξ= .
参考答案:
1,
【分析】利用随机变量ξ的概率分布列的性质能求出Eξ和Dξ.
【解答】解:由随机变量ξ的概率分布列,知:
Eξ==1,
Dξ=(0﹣1)2×+(1﹣1)2×+(2﹣1)2×=.
故答案为:1,.
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法,解题时要要认真审题,注意随机变量ξ的概率分布列的性质的合理运用,是基础题.
12. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆的面积为,则球的表面积为 .
参考答案:
13. 等比数列{an}中,若a5=1,a8=8,则公比q= .
参考答案:
2
【分析】直接由已知结合等比数列的通项公式求解.
【解答】解:在等比数列{an}中,由a5=1,a8=8,
得,∴q=2.
故答案为:2.
14. 函数y=lg(1﹣)+的定义域是 .
参考答案:
[log23,+∞)
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】根据函数成立的条件,即可求出函数的定义域.
【解答】解:要使函数有意义,则,
即,
∴x≥log23,
即函数的定义域为[log23,+∞),
故答案为:[log23,+∞)
15. 函数f(x)=的值域为______.
参考答案:
16. 曲线C:f(x)=sinx+ex+2在x=0处的切线方程为 .
参考答案:
y=2x+3
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】欲求在x=0处的切线的方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,从而问题解决.
【解答】解:∵f(x)=sinx+ex+2,
∴f(x)′=cosx+ex,
∴曲线f(x)=sinx+ex+2在点P(0,3)处的切线的斜率为:k=cos0+e0=2,
∴曲线f(x)=sinx+ex+2在点P(0,3)处的切线的方程为:y=2x+3,
故答案为y=2x+3.
17. 若运行如图所示的程序框图,输出的n的值为127,则输入的正整数n的所有可能取值的个数为________.
参考答案:
3
【分析】
根据框图的循环,判断出时符合题意,再研究和的情况,判断是否符合题意,得到答案.
【详解】令,得,故输入符合题意;
当输入的满足时,输出的结果总是大于127,不合题意;
当输入时候,输出的的值为,,,均不合题意;
当输入或时,输出的,符合题意;
当输入时,进入死循环,不合题意.
故输入的正整数的所有可能取值为,共3个.
【点睛】本题考查框图的循环结构,根据输出值求输入值,对循环终止条件和循环规律的研究有较高的要求,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)(选修4-5不等式选讲)
设函数.
求证:(1)当时,不等式成立.
(2)关于的不等式在R上恒成立,求实数的最大值.
参考答案:
(1)略(2)
【知识点】选修4-5 不等式选讲N4
(1) 证明:由
得函数的最小值为3,从而,所以成立.
(2) 由绝对值的性质得,
所以最小值为,从而,解得,因此的最大值为.
【思路点拨】利用分段函数最值证明结论,根据绝对值的意义求出a的最大值。
19. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)。
(I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(II)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。
参考答案:
20. 如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4.E,F分别在线段BC和AD上,EF∥AB,将矩形ABEF沿EF折起.记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.
(Ⅰ)求证:NC∥平面MFD;
(Ⅱ)若EC=3,求证:ND⊥FC;
(Ⅲ)求四面体NFEC体积的最大值.
参考答案:
考点:直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
专题:综合题;空间位置关系与距离.
分析:(Ⅰ)先证明四边形MNCD是平行四边形,利用线面平行的判定,可证NC∥平面MFD;
(Ⅱ)连接ED,设ED∩FC=O.根据平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF,可证NE⊥平面ECDF,从而可得FC⊥NE,进一步可证FC⊥平面NED,利用线面垂直的判定,可得ND⊥FC;
(Ⅲ)先表示出四面体NFEC的体积,再利用基本不等式,即可求得四面体NFEC的体积最大值.
解答: (Ⅰ)证明:因为四边形MNEF,EFDC都是矩形,
所以MN∥EF∥CD,MN=EF=CD.
所以四边形MNCD是平行四边形,…
所以NC∥MD,…
因为NC?平面MFD,所以NC∥平面MFD. …
(Ⅱ)证明:连接ED,设ED∩FC=O.
因为平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF,
所以NE⊥平面ECDF,…
因为FC?平面ECDF,
所以FC⊥NE. …
又EC=CD,所以四边形ECDF为正方形,所以 FC⊥ED. …
所以FC⊥平面NED,…
因为ND?平面NED,
所以ND⊥FC. …
(Ⅲ)解:设NE=x,则EC=4﹣x,其中0<x<4.
由(Ⅰ)得NE⊥平面FEC,所以四面体NFEC的体积为. …
所以. …
当且仅当x=4﹣x,即x=2时,四面体NFEC的体积最大. …
点评:本题考查线面平行,考查线面垂直,考查三棱锥体积的计算,考查基本不等式的运用,掌握线面平行,线面垂直的判定方法,正确表示四面体NFEC的体积是关键.
21. 如图,梯形ABCD中,CD//AB
,E是AB的中点,将△ADE沿DE折起,
使点A折到点P的位置,且二面角的大小为1200.
(I)求证:;
(II)求直线PD与平面BCDE所成角的大小;
(III)求点D到平面PBC的距离.
参考答案:
解析:(I)连结AC交DE于F,连结PF.
,.
又,,
,
即CA平分. …………2分
是正三角形,
,即PF⊥DE,CF⊥DE,
∴DE⊥面PCF,∴DE⊥PC. …………4分
(II)过P作于O,连结OD,设AD = DC = CB = a,则AB = 2a,
∵DE⊥面PCF,∴DE⊥PO,
∴PO⊥面BCDE,
∴∠PDO就是直线PD与平面BCDE所成的角. …………6分
∵∠PFC是二面角P-DE-C的平面角,
∴∠PFO = 60°,在RT△POD中,
,
E
直线PD与平面BCDE所成角是.……… …8分
(III)∵DE∥BC,DE在平面PBC外,,点到面的距离即为点F到面PBC的距离,过点F作FG⊥PC,垂足为G.
∴DE⊥面PCF,
.,
,
∴FG的长即为点F到面PBC的距离. …………10分
在菱形ADCE中,,.
,,
. …………12分
22. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=c