广西壮族自治区桂林市桥渡中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 当曲线与直线有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（    ） A．    B．    C． D． ks5u 参考答案： D 2. 已知都是实数，那么“”是“”的（    ）   A．充分不必要条件          B．必要不充分条件   C．充要条件                D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 3. 已知集合，，，则 A.                                               B. C.                                                       D. 参考答案： C 4. 已知函数，则不等式的解集是（    ） A.[－2,1] B.[－1,2] C. (－∞,－1]∪[2,+∞) D. (－∞,－2]∪[1,+∞) 参考答案： A 【分析】 先判断函数的奇偶性，将不等式化为， 再由函数的单调得到，求解即可得出结果. 【详解】因为函数， 所以，因此函数为奇函数， 所以化为， 又在上恒成立，因此函数恒为增函数， 所以，即，解得. 故选A 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、以及单调性的应用，熟记函数奇偶性的概念以及利用导数研究函数的单调性的方法即可，属于常考题型. 5. 在△ABC中，A=，B=，a=10，则b=(     ) A．5 B．10 C．10 D．5 参考答案： A 【考点】正弦定理． 【专题】三角函数的求值． 【分析】利用正弦定理列出关系式，将sinA，sinB以及a的值代入计算即可求出b的值． 【解答】解：∵在△ABC中，A=，B=，a=10， ∴由正弦定理=得：b===5． 故选：A． 【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 6. 设z是复数，则下列命题中的假命题是（　　） A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数 C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0 参考答案： C 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【分析】设出复数z，求出z2，利用a，b的值，判断四个选项的正误即可． 【解答】解：设z=a+bi，a，b∈R，z2=a2﹣b2+2abi， 对于A，z2≥0，则b=0，所以z是实数，真命题； 对于B，z2＜0，则a=0，且b≠0，?z是虚数；所以B为真命题； 对于C，z是虚数，则b≠0，所以z2≥0是假命题． 对于D，z是纯虚数，则a=0，b≠0，所以z2＜0是真命题； 故选C． 【点评】本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算． 7. 将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(    )     A. n=0            B. n=1           C.n=2               D. n=4 参考答案： C 8. 定义在R上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为（   ） A.(1，2) B.(0，1) C. D.(-1，1) 参考答案： D 9. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（   ） A.        B.         C.         D. 参考答案： C 10. 如图所示，三棱锥P﹣ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（　　） A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 参考答案： D 【考点】平面与平面垂直的性质． 【分析】利用面面垂直的性质及线面垂直的判断和性质得到AC⊥BC，可得点C在以AB为直径的圆上得答案 【解答】解：∵平面PAC⊥平面PBC， 而平面PAC∩平面PBC=PC， 又AC?面PAC，且AC⊥PC，∴AC⊥面PBC， 而BC?面PBC，∴AC⊥BC， ∴点C在以AB为直径的圆上， ∴点C的轨迹是一个圆，但是要去掉A和B两点． 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数的对称中心为，记函数的导数为，函数的导数为，则有；反之也成立.若函数 ，则                . 参考答案： －8050 略 12. 过直线上一点作圆的切线、关于直线对称，则点到圆心的距离为        。 参考答案： 13. 已知为等差数列，，则等于___________ 参考答案： 1  略 14. __________。 参考答案： 根据积分的几何意义，原积分的值即为单元圆在第一象限的面积 则 15. 设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为               . 参考答案： 略 16. 对大于或等于2的自然数m的3次方幂有如下分解方式： 2=3+5,最小数是3, 3=7+9+11,最小数是7, 4=13+15+17+19,最小数是13.根据上述分解规律，在9的分解中，最小数是     . 参考答案：   73 略 17. 展开式中的常数项为_____________ 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米． （1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值； （2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值． 参考答案： 【考点】三角形中的几何计算． 【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形． 【分析】（1）设（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算出点D到EF的距离为h=（1﹣λ）百米，从而得到S△DEF=EF?h表示成关于λ的函数式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面积S△DEF的最大值； （2）设正三角形DEF的边长为a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，将CF和AF用a、α表示出，再用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并结合辅角公式化简，利用正弦函数的值域即可求得a的最小值． 【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米． ∴cosB=，可得B=60° ∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60° 设（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米， Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=CE=λ百米， ∵C到AB的距离为BC=百米， ∴点D到EF的距离为h=﹣λ=（1﹣λ）百米 可得S△DEF=EF?h=λ（1﹣λ）百米2 ∵λ（1﹣λ）≤ [λ+（1﹣λ）]2=，当且仅当时等号成立 ∴当时，即E为AB中点时，S△DEF的最大值为百米2 （2）设正△DEF的边长为a，∠CEF=α 则CF=a?sinα，AF=﹣a?sinα 设∠EDB=∠1，可得 ∠1=180°﹣∠B﹣∠DEB=120°﹣∠DEB，α=180°﹣60°﹣∠DEB=120°﹣∠DEB ∴∠ADF=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣α 在△ADF中， = 即，化简得a[2sin（120°﹣α）+sinα]= ∴a===（其中φ是满足tanφ=的锐角） ∴△DEF边长最小值为． 【点评】本题在特殊直角三角形中求三角形边长和面积的最值，着重考查了解直角三角形、平行线的性质、正弦定理和三角恒等变换等知识，考查了在实际问题中建立三角函数模型能力，属于中档题． 19. 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。求：(1)角C的度数； (2)AB的长度。 参考答案： （1）   C＝120° （2）由题设：          20. （本小题满分10分）已知函数（为实常数）． （1）若，求函数的单调区间；        （2）设在区间上的最小值为，求的表达式． 参考答案： （1）当时， 作图（如右所示） 增区间，，减区间， （2）当时，     若，则在区间上是减函数，             若≠0，则，图像的对称轴是直线．     当＜0时，在区间上是减函数，,     当，即时，在区间上时增函数，            当，即时，，     当，即0时，在区间上是减函数，．     综上可得 21. 如图，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，且PA⊥平面ABCD． （Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD； （Ⅱ）设点E是线段AP的中点，且AE=1，求点E到平面PCD的距离． 参考答案： 【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LY：平面与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的性质定理及其PA⊥平面ABCD，可得BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，可得BD⊥AC，再利用线面面面垂直的性质定理即可证明． （II）设点A到平面PCD的距离为d，利用VA﹣PCD=VP﹣ACD，可得d，即可得出点E到平面PCD的距离为d． 【解答】（Ⅰ）证明：PA⊥平面ABCD?BD⊥PA，… 四边形ABCD是菱形?BD⊥AC，… 又PA∩AC=A，… 所以BD⊥平面PAC，… 又BD?平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．  … （Ⅱ）证明：设点A到平面PCD的距离为d， 可求得，… ，， 由VA﹣PCD=VP﹣ACD，得，… 即， 所以， 点E到平面PCD的距离为=．… 22. 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且asinA+bsinB﹣csinC=asinB （1）确定∠C的大小； （2）若c=，△ABC的面积为，求a+b的值． 参考答案： 【考点】余弦定理的应用． 【专题】综合题；方程思想；综合法；解三角形． 【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式得到一个关系式，再利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosC的值，即可确定出角C； （2）利用△ABC的面积为，求出ab，再利用余弦定理，求a+b的值． 【解答】解：（Ⅰ）根据正弦定理，原等式可转化为：a2+b2﹣c2=ab， ∴cosC==， ∵C为三角形的内角， ∴C=60°； （2）∵△ABC的面积为， ∴=， ∴ab=6， ∵c=， ∴7=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣18， ∴a+b=5． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．