河南省平顶山市第二中学高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数满足下列条件:①定义域为[1,+∞);②当时;③. 若关于x的方程恰有3个实数解,则实数k的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
D
因为,当时;所以可作函数在上图像,如图,而直线过定点A(1,0),根据图像可得恰有3个实数解时实数k的取值范围为 ,
2. 若集合,则集合的子集共有 ( )
A.3个 B.6个 C.7个 D.8个
参考答案:
D
3. 函数的图象可由函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度得到
B. 向左平移个单位长度得到
C. 向右平移个单位长度得到
D. 向右平移个单位长度得到
参考答案:
B
【分析】
直接利用函数图象平移规律得解.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度,
可得函数的图象,
整理得:
故选:B
【点睛】本题主要考查了函数图象平移规律,属于基础题。
4. 如图,PA⊥矩形ABCD,下列结论中不正确的是( )
A.PD⊥BD B.PD⊥CD
C.PB⊥BC D.PA⊥BD
参考答案:
A
略
5. 若在[ ]上为减函数,则的取值范围是( )
A. ( k∈Z ) B. ( k∈Z )
C. ( k∈Z ) D. ( k∈Z )
参考答案:
A
略
6. 下列函数没有零点的是_________
A. B.
C. D.
参考答案:
C
7. 已知,则函数的表达式为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
8. 函数的值域为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 在等差数列{an}中,,且,Sn为数列{an}的前n项和,则使得的n的最小值为( )
A.23 B.24 C.25 D.26
参考答案:
B
由题意可得:因为,且,
所以公差d>0,
所以由等差数列的性质可得:S24=>0,S23=23?a12<0,
所以使Sn>0的n的最小值为24.
10. 函数在上满足,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数单调递减区间是_____________.
参考答案:
12. 已知 ,sin= ,则tan2 =___________.
参考答案:
13. 函数y=的最大值是______.
参考答案:
4
14. 2﹣3,,log25三个数中最大数的是 .
参考答案:
log25
【考点】72:不等式比较大小.
【分析】运用指数函数和对数函数的单调性,可得0<2﹣3<1,1<<2,log25>log24=2,即可得到最大数.
【解答】解:由于0<2﹣3<1,1<<2,
log25>log24=2,
则三个数中最大的数为log25.
故答案为:log25.
15. 已知函数有3个零点分别为,则的取值范围是__________.
参考答案:
略
16. 化简=______________.
参考答案:
略
17. 函数的零点所在区间是,则正整数 .
参考答案:
1
∵,
又函数单调递增,
∴函数在区间内存在唯一的零点,
∴.
答案:1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xOy中,若角α的始边为x轴的非负半轴,终边为射线l:.
(I)求的值;w_w w. k#s5_u.c o*m
(II)求的值.
参考答案:
解:(Ⅰ)在终边l上取一点,则 3分
∴ . 6分
(Ⅱ). 9分
12分
【题文】已知,,求的值.
【答案】解:由 2分
将上式两边平方得 4分
所以 5分
又由 6分
所以 7分
原式 10分
将,,的值代入上式
得原式的值为 12分
略
19. 如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PD=CD=2,∠PDC=120°.
(Ⅰ)证明平面PDC⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.
参考答案:
【考点】LY:平面与平面垂直的判定;MI:直线与平面所成的角.
【分析】(Ⅰ)证明AD⊥CD,AD⊥PD,推出AD⊥平面PDC,然后证明平面PCD⊥平面ABCD.
(Ⅱ)在平面PCD内,过点P作PE⊥CD交直线CD于点E,连接EB,说明∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角,通过在Rt△PEB中,求解sin∠PBE=,推出结果.
【解答】(Ⅰ)证明:由于底面ABCD是矩形,
故AD⊥CD,又由于AD⊥PD,CD∩PD=D,
因此AD⊥平面PDC,而AD?平面ABCD,
所以平面PCD⊥平面ABCD.…6分;
(Ⅱ)解:在平面PCD内,过点P作PE⊥CD交直线CD于点E,连接EB,
由于平面PCD⊥平面ABCD,而直线CD是平面PCD与平面ABCD的交线,
故PE⊥平面ABCD,由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角…8分
在△PDC中,由于PD=CD=2,∠PDC=120°,知∠PDE=60°.,
在Rt△PEC中,PE=PDsin60°=3,DE=12,PD=1,
且BE===,
故在Rt△PEB中,PB==,sin∠PBE==.
所以直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值为.…12分.
20. 已知、是方程的两个根,求证:.
参考答案:
【分析】
首先利用韦达定理得到然后求出 的值即可证明。
【详解】由题意,根据韦达定理可得
又 即
【点睛】本题考查了正切的和角公式。本题的关键是由得到的韦达定理联想到正切的和角公式。
21. 已知函数为偶函数.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)记集合E={y|y=f(x),x∈{﹣1,1,2}},,判断λ与E的关系;
(Ⅲ)当x∈(m>0,n>0)时,若函数f(x)的值域为,求m,n的值.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数的性质及应用;导数的概念及应用.
【分析】(Ⅰ)根据函数为偶函数f(﹣x)=f(x),构造关于a的方程组,可得a值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)中函数f(x)的解析式,将x∈{﹣1,1,2}代入求出集合E,利用对数的运算性质求出λ,进而根据元素与集合的关系可得答案
(Ⅲ)求出函数f(x)的导函数,判断函数的单调性,进而根据函数f(x)的值域为,x∈,m>0,n>0构造关于m,n的方程组,进而得到m,n的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵函数为偶函数.
∴f(﹣x)=f(x)
即=
∴2(a+1)x=0,
∵x为非零实数,
∴a+1=0,即a=﹣1
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
∴E={y|y=f(x),x∈{﹣1,1,2}}={0,}
而====
∴λ∈E
(Ⅲ)∵>0恒成立
∴在上为增函数
又∵函数f(x)的值域为,
∴f()=1﹣m2=2﹣3m,且f()=1﹣n2=2﹣3n,
又∵,m>0,n>0
∴m>n>0
解得m=,n=
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性,其中利用奇偶性求出a值,进而得到函数的解析式,是解答的关键.
22. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求的值;
(2)若,求△ABC的面积的最大值.
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)由,可得,化为,可得,可得;(2),再利用基本不等式的性质可得,利用即可得出.
【详解】(1)∵,
∴,
,化为:,∴,
可得.
(2),可得,
当且仅当取等号,∴,
∴当且仅当时,的面积的最大值为.
【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.