河南省开封市于镇永威中学高三数学文期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知：，，若函数f(x)和g(x)有完全相同的对称轴，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
参考答案：
B
由题意知，函数和的周期是一样的，故，不等式，即，解之得：
2. 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与抛物线C相交于P，Q两点，则弦PQ的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
参考答案：
D
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】直线PQ的方程是，把代入抛物线y2=4x消y得3x2﹣10x+3=0，利用弦长公式，即可得出结论．
【解答】解：直线PQ的方程是，把代入抛物线y2=4x消y得3x2﹣10x+3=0，
设Q（x1，y1），P（x2，y2），则，
所以|PQ|=x1+x2+p==，
故选D．
【点评】本题考查直线与抛物线位置关系的运用，考查弦长公式，属于中档题．
3. 某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的的值是( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
4. 已知条件关于的不等式（）的解集为；条件指数函数为增函数， 则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
A
5. 现有五个球记为随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球。则或在盒子中的概率为（ ） A B C D
参考答案：
B
6. 当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是
A.x 3＜3x＜log3x B.3x＜x 3＜log3 x C.log3 x＜x 3＜3x D.log3 x＜3x＜x 3
参考答案：
C
7. 庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”）.今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:
甲说:“我或乙能中奖”;
乙说:“丁能中奖”;
丙说:“我或乙能中奖”;
丁说:“甲不能中奖”.
游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是
（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁
参考答案：
A
本题考查学生的逻辑推理能力.
由四人的预测可得下表:
中奖人
预测结果
甲
乙
丙
丁
甲
?
?
?
?
乙
?
?
?
?
丙
?
?
?
?
丁
?
?
?
?
1. 若甲中奖,仅有甲预测正确,符合题意
2. 若乙中奖,甲、丙、丁预测正确,不符合题意
3. 若丙中奖,丙、丁预测正确,不符合题意
4. 若丁中奖,乙、丁预测正确,不符合题意
故只有当甲中奖时,仅有甲一人预测正确.选A
8. 已知下列函数：
①y=x+； ②y=1g； ③y=lg（x+）； ④y=sin（cosx）； ⑤f（x）=．
其中奇函数的个数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
参考答案：
C
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】直接根据奇偶性的定义对各函数加以判断，注意要先确定函数的定义域，再判断奇偶性，且满足f（x）+f（﹣x）=0即为奇函数．
【解答】解：利用奇偶性定义，对各函数判断如下：
①函数y=f（x）=，定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）=﹣（）=﹣f（x），
所以，f（x）为奇函数；
②函数y=f（x）=lg，定义域为{x|x＞1，或x＜﹣1}，且f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），
所以，f（x）为奇函数；
③函数y=f（x）=lg（x+），定义域为R，且f（﹣x）+f（﹣x）=lg1=0，
所以，f（x）为奇函数；
④函数y=f（x）=sin（cosx），定义域为R，且f（﹣x）=sin（cos（﹣x））=sin（cosx）=f（x），
所以，f（x）为偶函数；
⑤函数y=f（x）=，定义域为R，
且f（x）+f（﹣x）=（﹣x2+sinx）+[（﹣x）2+sin（﹣x）]=0，所以，f（x）为奇函数；
综合以上分析可知，函数①②③⑤为奇函数，
故答案为：C．
9. 如图，给出的是的值的一个程序框图，
框内应填入的条件是 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
10. 在同一坐标系内，函数的图象关于
A．原点对称 B．轴对称
C．轴对称 D．直线对称
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知定义在R上的偶函数f (x)的单调减区间为，则不等式f(x)< f(2－x)的解集是 ．
参考答案：
12. 若a＞0，b＞0，ab=4，当a+4b取得最小值时， = ．
参考答案：
4
【考点】基本不等式．
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】由于a＞0，b＞0，ab=4，则a=，a+4b=+4b，运用基本不等式，即可得到最小值，求出等号成立的条件，即可得到．
【解答】解：由于a＞0，b＞0，ab=4，
则a=，
a+4b=+4b≥2=8，
当且仅当b=1，a=4，即=4时，取得最小值8．
故答案为：4．
【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．
13. 在极坐标系中，两点，间的距离是 ．
参考答案：
略
14. 已知集合，则___________．
参考答案：
{－1,0,1}
集合 ，
则
故答案为：.
15. 已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是______．
参考答案：
数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，
∴该组数据的方差为：
s2=×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．
16. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）。
参考答案：
17. 实数满足若目标函数的最大值为4，则实数的值为
.
参考答案：
a=2
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣3|．
（1）作出函数y=f（x）的图象；
（2）解不等式|x+2|+|x﹣3|＜8．
参考答案：
解：（1）∵f（x）=|x+2|+|x﹣3|=．
∴根据一次函数图象的作法，可得函数y=f（x）的图象
如图所示：
（2）根据（1）的图象，
解方程﹣2x+1=8，得x=﹣；解方程2x﹣1=8，得x=
再观察图象，可得f（x）＜8的区间为（﹣，）．
∴不等式|x+2|+|x﹣3|＜8的解集为（﹣，）．
略
19. （12分）等差数列{an}的前n项和为，，.
（1）求数列{an}的项与前n项和；
（2）设，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
参考答案：
解析：(1)，；
（2）由（1）得，假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列，
则 即
∴，，，得
∴p=r，矛盾. ∴数列{bn}中任意三项都不可能成等比数列.
20. 在平面直角坐标系中，动圆经过点，，.其中.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；（4分）
（Ⅱ）过点作直线交轨迹于不同的两点，直线与直线分别交直线于两点，记与的面积分别为. 求的最小值.
参考答案：
（1）设动圆的圆心为E则即：∴ 即：动圆圆心的轨迹E的方程为………….4分
（2）当直线AB的斜率不存在时，AB⊥x轴，此时，
∴∴∴ ………………………….5分
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，则，直线AB的方程是，.
设，联立方程，消去y，得：，即：∴，，
由知，直线AC的方程为，直线AC的方程为，∴ ∴ ∴，…………9分
令，则，
由于 函数在上是增函数……………………………………………11分
∴ ∴ 综上所述，
∴的最小值为…………………………………………………………………………12分
21. 本小题满分12分)已知公差不为０的等差数列的前项和为，，且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和公式.
参考答案：
【解】：（Ⅰ）设等差数列的公差为.
因为，
所以. ①
因为成等比数列，
所以. ② …………………5分
由①，②可得：. ………………………6分
所以.………………………7分
（Ⅱ）由可知：.…………9分
所以 .………………11分
所以
.
所以数列的前项和为. ……………12分
略
22. （本题满分15分）已知抛物线().抛物线上的点到焦点的距离为2
(1)求抛物线的方程和的值；
(2)如图，是抛物线上的一点，过作圆的两条切线交轴于两点，若的面积为,求点坐标.
参考答案：
（Ⅰ）由抛物线定义易得 抛物线方程为…5分
(2)设点 ,当切线斜率不存在, ,设切线,
圆心到切线距离为半径1, 不符合题意
同理当切线斜率不存在,, 当切线,斜率都存在.即,
设切线方程为： 圆心到切线距离为半径1,即 ,
两边平方整理得: 韦达定理得:
则切线, 切线,得 ……15分