浙江省温州市瑞安安阳第一中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 复数的模为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
2. 设函数在上可导,其导函数为,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
因为。
故答案为:C
3. 在中,若点满足,,则
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 设随机变量服从标准正态分布,已知,
则=( )
A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975
参考答案:
答案:C
解析:服从标准正态分布,
5. 现有2门不同的考试要安排在5天之内进行,每天最多进行一门考试,且不能连续两天有考试,那么不同的考试安排方案种数有
A、12 B、6 C、 8 D、16
参考答案:
【知识点】排列组合.J2
【答案解析】D 解析:解:若第一门安排在开头或结尾,则第二门有3种安排方法,这时,共有种方法.若第一门安排在中间的3天中,则第二门有2种安排方法,这时,共有3×2=6种方法.综上可得,所有的不同的考试安排方案种数有 6+6=12种,故选C.
【思路点拨】若第一门安排在开头或结尾,则第二门有3种安排方法.若第一门安排在中间的3天中,则第二门有2种安排方法,根据分步计数原理分别求出安排方案种数,相加即得所求
6. 执行如图所示的程序框图,如输入的值为1,则输出的的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B.
7. 若0<a<b<1,c>1,则( )
A.ac>bc B.abc>bac C.logab<logba D.logac<logbc
参考答案:
B
【考点】指数函数的单调性与特殊点.
【分析】根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断.
【解答】解:∵0<a<b<1,c>1,
∴ac<bc,abc>bac,
∴logab>logba,logac>logbc,
故选:B
8. 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆面积为36π,则p=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
参考答案:
D
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径,由此可求p的值.
【解答】解:∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径
∵圆面积为36π,∴圆的半径为6,
又∵圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,
∴+=6,
∴p=8,
故选:D.
9. 已知等差数列的前项和为,若,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 设函数则= ( )
A.4 B.5 C.6 D.8
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 的展开式中,含项的系数为 (用数字作答)
参考答案:
110
12. 已知抛物线的焦点为为坐标原点,点为抛物线准线上相异的两点,且两点的纵坐标之积为,直线,分别交抛物线于,两点,若三点共线,则_______.
参考答案:
2
13. 若二项式的展开式中的常数项为m,则___________.
参考答案:
二项式的展开式的通项公式为:,
令,则.即有.则.
14. 航天员拟在太空授课,准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验,向全世界人民普及太空知识,其中0号实验不能放在第一项,最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号,则实验顺序的编排方法种数为 (用数字作答).
参考答案:
300
15. 已知单位向量与的夹角为,且,向量与的夹角为,则=
参考答案:
16. 计算:= .
参考答案:
考点:数列的极限.
专题:点列、递归数列与数学归纳法.
分析:直接利用数列极限的运算法则,分子分母同除3n,然后求解极限即可.
解答: 解:===.
故答案为:.
点评:本题考查数列极限的运算法则,基本知识的考查.
17. 飞机的航线和山顶C在同一个铅锤平面内,已知飞机的高度保持在海拔(km),飞行员先在点A处看到山顶的俯角为,继续飞行(km)后在点B处看到山顶的俯角为,试用、、、表示山顶的海拔高度为 (km).
参考答案:
(或)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设正项数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn+1=a2Sn+a1,S3=14.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=an﹣1,求++…+.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(I)Sn+1=a2Sn+a1,S3=14.可得n=1时,a1+a2=+a1,a2>0,解得a1.n=2时,2+a2+a3=+2=14,解得a2,可得Sn+1=2Sn+2,利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出.
(II)bn=an﹣1=2n﹣1,可得==.利用“裂项求和”方法即可得出.
【解答】解:(I)∵Sn+1=a2Sn+a1,S3=14.∴n=1时,a1+a2=+a1,a2>0,解得a1=2.
n=2时,2+a2+a3=+2=14,解得a2=4,
∴Sn+1=2Sn+2,
n≥2时,Sn=2Sn﹣1+2,可得:an+1=2an(n=1时也成立).
∴数列{an}是等比数列,首项与公比都为2,
∴an=2n.
(II)bn=an﹣1=2n﹣1,∴==.
∴++…+=++…+=1﹣.
19. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若,求△ABC面积的最大值.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ).
分析:(Ⅰ)由正弦定理进行边角互化得。
(Ⅱ)由余弦定理结合基本不等式进行求解。
详解:(Ⅰ)由正弦定理可得:
从而可得:,即
又为三角形内角,所以,于是
又为三角形内角,所以.
(Ⅱ)由余弦定理:得:,
所以,所以
点睛:本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用,属于中档题。
20. 已知函数R,.
(Ⅰ) 当时,求函数的最小值;
(Ⅱ) 若对任意,恒有成立,求实数的取值范围.
请考生从22、23两题任选1个小题作答,满分10分.如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
参考答案:
(Ⅰ)解:当时,,则. …………………………………1分
令,得.
当时, ; 当时, . ……………………………………………………2分
∴函数在区间上单调递减,在区间上单调递增. ………………………………3分
∴当时,函数取得最小值,其值为. ……………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:恒成立.………………………………………………………………………5分
①当恒成立时,即恒成立时,条件必然满足.……………………6分
设,则,在区间上,,是减函数,在区间上,,是增函数,即最小值为.
于是当时,条件满足.… ……………………………………………………………………………9分
②当时,,即,条件不满足.……………………11分
综上所述,的取值范围为.……………………………………………………………………12分
21. 已知关于x的函数
(Ⅰ)当时,求函数的极值;
(Ⅱ)若函数没有零点,求实数a取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ),. ………………………………2分
当时,,的情况如下表:
2
0
↘
极小值
↗
所以,当时,函数的极小值为. ……………………………6分
(Ⅱ).
①当时,的情况如下表:
2
0
↘
极小值
↗
---7分
因为F(1)=1>0, …………………………………………………………………………8分
若使函数F(x)没有零点,需且仅需,解得,………………… 9分
所以此时;……………………………………………………………………10分
②当时,的情况如下表:
2
0
↗
极大值
↘
-----11分
因为,且,
所以此时函数总存在零点. ……………………………………………………12分
(或:当时,
当时,令即
由于令
得,即时,即时存在零点.)
综上所述,所求实数a的取值范围是.………………………………13分
22. (1)已知P是矩形ABCD所在平面上的一点,则有
.
试证明该命题;
(2)将上述命题推广到P为空间上任一点的情形,写出这个推广后的命题并加以证明;
(3)将矩形ABCD进一步推广到长方体ABCD-A1B1C1D1,并利用(2)得到的命题建立并证明一个新命题.
参考答案:
(1)证明:如图,设在直角坐标平面中,矩形的顶点坐标为
,,,,点是直角坐标平面上的任意一点,则
,
,
故.
(2)推广命题:若棱锥的底面是矩形,则有
.
证明:如图,设棱锥的底面在空间直角坐标系的平面上,矩形的顶点坐标为,,,,设点坐标为,则
,
故.
(3)再推广命题:设是长方体,是空间上任意一点,则
.
证明:如图,由(2)中定理可得
和,
所以.