2022年福建省漳州市浦林中学高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数的最小正周期为,最大值为,则( )
A., B. , C., D.,
参考答案:
B
2. 命题p:?x∈(﹣∞,0],2x≤1,则( )
A.
p是假命题;?p:?x0∈(﹣∞,0],
B.
p是假命题;?p:?x∈(﹣∞,0],2x≥1
C.
p是真命题;?p:?x0∈(﹣∞,0],
D.
p是真命题;?p:?x∈(﹣∞,0],2x≥1
参考答案:
C
考点:
命题的真假判断与应用.343780
分析:
根据指数函数的性质,我们可以判断出命题p的真假,进而根据全称命题的否定方法,可以求出命题p的否定,进而得到答案.
解答:
解:∵?x∈(﹣∞,0],2x≤20=1,∴p是真命题
又∵?p:?x0∈(﹣∞,0],2x>1
故选C
点评:
本题考查的知识点是命题的真假判断,全称命题的否定,其中熟练掌握指数函数的性质是解答本题的关键.
3. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A. B. C. D.
参考答案:
A
每爻有阴阳两种情况,所以总的事件共有种,在个位置上恰有个是阳爻的情况有种,所以.
4. 复数(为虚数单位)的共轭复数是__________.
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 已知,那么=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用.
【专题】计算题;转化思想;分析法;三角函数的求值.
【分析】由已知及诱导公式可求sinα=,利用诱导公式化简所求后即可得解.
【解答】解:∵,可得:sinα=,
∴=sinα=.
故选:B.
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
6. 《九章算术》有这样一个问题:今有子女善织,日增等尺,七日织二十一尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,问第十日所织尺数为( )
A.6 B.9 C.12 D.15
参考答案:
D
7. 已知的图像关于( )对称。
A.y轴 B. x轴 C. 原点 D.直线y=x
参考答案:
C
略
8. 已知集合,B={y|y=3x2+1,x∈R},则A∩B=
A.? B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
参考答案:
B
9. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果的值是
A. 5 B.6 C. 7 D. 8
参考答案:
C
略
10. 已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,A为椭圆上一点,,连接AF2交y轴于M点,若,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数,其中A的各位数字中,,()出现0的概率为,出现1的概率为.若启动一次出现的数字为则称这次试验成功,若成功一次得2分,失败一次得-1分,则100次重复试验的总得分X的方差为 .
参考答案:
12. 容量为60的样本的频率分布直方图共有n(n>1)个小矩形,若其中一个小矩形的面积等于其余n﹣1个小矩形面积和的,则这个小矩形对应的频数是 10 .
参考答案:
考点:
频率分布直方图..
专题:
计算题;概率与统计.
分析:
根据其中一个小矩形的面积等于其余(n﹣1)个小矩形面积之和的,设出这一个小矩形的面积是x,则其余(n﹣1)个小矩形面积之和为5x,得到这一个小组的频率的值,用概率乘以样本容量得到结果.
解答:
解:∵分类分步直方图共有n个小矩形,
其中一个小矩形的面积等于其余(n﹣1)个小矩形面积之和的,
设这一个小矩形的面积是x,则其余(n﹣1)个小矩形面积之和为5x,
∵x+5x=1,
∴x=
∵样本容量为60,
则这个小矩形对应的频数是60×=10,
故答案为:10.
点评:
本题考查频率分布表,考查频率分步直方图小正方形的面积等于这组数据的频率,注意小正方形的面积之间的关系不要弄混,本题是一个基础题.
13. 已知角终边上有一点,则 .
参考答案:
-3
14. 已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是_____.
参考答案:
15. 已知圆:与轴正半轴的交点为,点沿圆顺时针运动弧长到达点,以轴的非负半轴为始边,为终边的角记为,则 .
参考答案:
考点:任意角三角函数的定义.
16. (4分)(2010?东城区二模)已知向量=(1,1),?=3,,则||= _________ ,||= _________ .
参考答案:
17. 数列的前项和记为,,,则的通项公式
为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
已知函数的最小正周期为.
(1)求函数在区间上的最大值和最小值;
(2)已知分别为锐角三角形中角的对边,且满足,,求的面积.
参考答案:
(1),;(2).
试题分析:(1)利用三角恒等变换相关公式化简函数解析式得,由周期为,可求的值,由三角函数性质可求函数的最值.(2)由及正弦定理可求得,从而是求出解的值,由可求出角及角,由正弦定理求出边,即可求三角形面积.
考点:1.三角恒等变换;2.三角函数的图象与性质;3.正弦定理与余弦定理.
【名师点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、正弦定理与余弦定理,属中档题;此类题目是解三角形问题中的典型题目,可谓相当经典.解答本题,关键在于能利用三角公式化简函数解析式从而达到求最值的目的,三角形中的求角问题,往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广,能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
19. 极坐标与参数方程
已知点,参数,点Q在曲线C:上。
(Ⅰ)求点P的轨迹方程与曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)求点P与点Q之间的最小值。
参考答案:
解:(1)由
得点P的轨迹方程 (2分)
又由
曲线C的直角坐标方程为。 (5分)
(2)半圆的圆心(1,0)到直线的距离为,
所以 (10分)
略
20. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,是△的外接圆,D是的中点,BD交AC于E.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若,O到AC的距离为1,求⊙O的半径.
参考答案:
(I)证明:∵,
∴,又,
∴△~△,∴,
∴CD=DE·DB; ………………(5分)
21. (本小题满分14分)
已知椭圆的离心率,点A为椭圆上一点,.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设动直线与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线相交于点Q.问:在轴上是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过定点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
参考答案:
【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的综合问题.H5 H8
(1);(2)存在定点符合题意.
解析:(1)由可得,, ①
可得,,…2分
在中由余弦定理有,,又,可得②,…………………………4分
联立①②得,
所以椭圆方程为. …………………………6分
(2)设点,由,得, …………………………8分,化简得,所以, ………………………10分
所以.
由,得,假设存在点,坐标为,则,, …………………12分
因为以为直径的圆恒过点,所以,即,所以有对任意的都成立,
则,解得,故存在定点符合题意. …14分
【思路点拨】(1)先由离心率得到a,c的关系式,再结合余弦定理得到,联立解方程组可求得椭圆的标准方程;(2)把直线与椭圆方程联立后转化为关于x的一元二次方程,结合根与系数的关系同时结合进行判断即可。
22. (本小题满分10分)
已知整数的所有3个元素的子集记为A1,A2,…,AC。
(1)当n=5时,求集合A1,A2,…,AC中所有元素之和;
(2)设mi为Ai中的最小元素,设
参考答案:
(1)当n=5时,含元素1的子集中,必有除1以外的两个数字,两个数字的选法有=6个,所以含有数字1的几何有6个.同理含2,3,4,5的子集也各有6个,
于是所求元素之和为(1+2+3+4+5)×=6×15=90…(5分)
(2)证明:不难得到1≤mi≤n-2,mi∈Z,并且以1为最小元素的子集有个,以2为最小元素的子集有个,以3为最小元素的子集有,…,以n-2为最小元素的子集有个。则