广东省揭阳市第二中学高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,己知函数的图像关于坐标原点O对称,则函数的解析式可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
抓住奇函数的判定性质,代入,即可。
【详解】根据关于原点对称可知该函数为奇函数,
对于A选项,为偶函数,不符合;
对于B选项定义域不对;
对于C选项当x>0的时候,恒成立不符合该函数图像,故错误;
对于D选项,,符合判定,故选D。
【点睛】考查了奇函数的判定性质,关键抓住,即可,难度中等。
2. 若复数(a+i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上,则实数a的值是( )
A.1 B.-1 C. D.-[Z
参考答案:
B
3.
若,且,则=( )
A. B. C. D.-
参考答案:
答案:B
4. 已知,集合,则
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
C
因为A={x|x<-2或x>2},所以,故选C.
5. (多选题)已知向量,,,设的夹角为,则( )
A B. C. D.
参考答案:
BD
【分析】
根据题意,求出的坐标,据此分析选项,综合即可得答案.
【详解】根据题意,,,则,,
依次分析选项:
对于,,,则不成立,错误;
对于,,,则,即,正确;
对于,,,不成立,错误;
对于,,,则,,,则,则,正确;
故选:BD.
【点睛】本题考查向量数量积的计算,涉及向量夹角的计算,属于基础题.
6. 已知复数,,则等于 ( )
A. 8 B. C. D.
参考答案:
C
7. “”是“直线和直线平行”( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
参考答案:
A
略
8. 三棱柱的侧棱与底而垂直,且底面是边长为2的等边三角形,其正(主)视图(如图所示)的面积为8,则侧(左)视图的面积为
(A)8 (B)4 (C) 4 (D)
参考答案:
C
略
9. 已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=( )
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
参考答案:
D
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【专题】数系的扩充和复数.
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,求得z的值.
【解答】解:∵已知=1+i(i为虚数单位),∴z===﹣1﹣i,
故选:D.
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.
10. x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x﹣[x]在R上为( )
A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数
参考答案:
D
【考点】函数的周期性;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【专题】计算题;新定义.
【分析】依题意,可求得f(x+1)=f(x),由函数的周期性可得答案.
【解答】解:∵f(x)=x﹣[x],
∴f(x+1)=(x+1)﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f(x),
∴f(x)=x﹣[x]在R上为周期是1的函数.
故选:D.
【点评】本题考查函数的周期性,理解题意,得到f(x+1)=f(x)是关键,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设向量,,若,则实数________.
参考答案:
12. 已知双曲线的一条渐近线和圆相切,则该双曲线的离心率为
参考答案:
略
13. 已知函数 (a是常数且a>0).对于下列命题:
①函数f(x)的最小值是-1;
②函数f(x)在R上是单调函数;
③若f(x)>0在上恒成立,则a的取值范围是a>1;
④对任意的x1<0,x2<0且x1≠x2,恒有.其中正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)
参考答案:
①③④
14. 设命题,函数有零点,则 .
参考答案:
,函数没有零点
试题分析:全称命题的否定,把全称量词写成存在量词,同时把结论否定;故:,函数没有零点
考点:含有量词的命题的否定
15. 已知O是坐标原点,点A(-1,1)若点为平面区域上的一个动点,则的取值范围是
参考答案:
16. 在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”,类比猜想在空间中有 .
参考答案:
正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
略
17. 已知点是球表面上的四个点,且两两成角,,则球的表面积为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程是(是参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程.
(Ⅰ)判断直线与曲线的位置关系;
(Ⅱ)设为曲线上任意一点,求的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)直线 的普通方程为
曲线的直角坐标系下的方程为
圆心到直线的距离为
所以直线与曲线的位置关系为相离. ……………5分
(Ⅱ)设,
则.……………10分
19. [选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
已知a,b,c为正实数,+++27abc的最小值为m,解关于x的不等式|x+l|﹣2x<m.
参考答案:
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】根据基本不等式的性质求出m的值,从而解不等式即可.
【解答】解:因为a,b,c>0,
所以
=,
当且仅当时,取“=”,
所以m=18.…(6分)
所以不等式|x+1|﹣2x<m即|x+1|<2x+18,
所以﹣2x﹣18<x+1<2x+18,解得,
所以原不等式的解集为.…(10分)
【点评】本题考查了基本不等式的性质,考查解不等式问题,是一道基础题.
20. 某种出口产品的关税税率t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:,其中k、b均为常数.当关税税率为75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量约为1万件;当关税税率为75%时,若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.
(1)试确定k、b的值;
(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:.当时,市场价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.
参考答案:
(1).(2)当市场平衡价格为4千元时,关税税率的最大值为500﹪.
【分析】
(1)根据“关系式:p=2(1﹣kt)(x﹣b)2,及市场价格为5千元,则市场供应量均为1万件;市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件”,可得到从而求得结果;
(2)当p=q时,可得2(1﹣t)(x﹣5)2=2﹣x,可求得t=1+=1+,由f(x)=x+在(0,4]上单调递减,可知当x=4时,f(x)有最小值.
【详解】(1)由已知得,若,
当时,,当时,.
所以有,
解得.
(2)由于,则,
当p=q时,,所以,
所以,,
设,
则
==
=
=,
由于,
则,,,
所以,所以,
所以在区间上是增函数,
所以当时,取得最大值,为5,
即当市场平衡价格为4千元时,关税税率的最大值为500﹪.
【点睛】本题主要考查函数模型的应用,考查了指数方程的解法和双勾函数最值的求法.
21. (本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD的底ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AD=2,AB=1,E,F分别是AB,BC的中点。
(1)求证:PF⊥FD;
(2)在PA上找一点G,使得EG∥平面PFD;
(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°,
求二面角A-PD-F的余弦值。
参考答案:
(1)连接AF,则AF=,DF=,
又AD=2,∴DF2+AF2=AD2,∴DF⊥AF. ……………2分
又PA⊥平面ABCD,DF平面ABCD∴DF⊥PA, ……………3分
又PA∩AF=A, ……………4分
(2)过点E作EH∥FD交AD于点H,则EH∥平面PFD且AH=AD.………………5分
再过点H作HG∥DP交PA于点G,则HG∥平面PFD且AG=AP, ………………6分
∴平面EHG∥平面PFD.∴EG∥平面PFD. ………………7分
从而满足AG=AP的点G为所求. ………………8分
(3)建立如图所示的空间直角坐标系,因为PA⊥平面ABCD ,
所以是与平面所成的角.
又由已知可得,所以,
所以.……9分
设平面的法向量为,由得,
令,解得:,所以. ……10分
又因为,所以是平面的法向量,……11分
所以.
由图知,二面角的余弦值为. ……………………12分
22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图所示,为圆的切线,为切点,,的角平分线与和圆分别交于点和.
(1)求证
(2)求的值.
参考答案:
(1)∵ 为圆的切线, 又为公共角,
. ……………………4分
(2)∵为圆的切线,是过点的割线,
又∵
又由(1)知,
连接,则
,则,
∴. ------10分