吉林省长春市德惠市第二十六中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 定义在R上的奇函数f(x),满足f(1)=0,且在(0,+∞)上单调递增,则xf(x)>0的解集为( )
A.{x|x<﹣1或x>1} B.{x|0<x<1或﹣1<x<0}
C.{x|0<x<1或x<﹣1} D.{x|﹣1<x<0或x>1}
参考答案:
A
考点:函数奇偶性的性质.
专题:函数的性质及应用.
分析:先确定函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,且f(﹣1)=0,再将不等式等价变形,即可得到结论.
解答:解:∵定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,
∴函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,且f(﹣1)=0,
∴不等式xf(x)>0等价于或
∴x>1或﹣1≤x<﹣1
∴不等式xf(x)>0的解集为{x|x>1或x<﹣1}.
故选A.
点评:本题考查函数单调性与奇偶性的结合,关键利用函数上奇函数得到对称区间得单调性,经常考查,属于基础题
2. 如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为。则该几何体的俯视图可以是
参考答案:
C
3. 三个数0.52,2,log20.2的大小关系为( )
A.log20.2<0.52<2 B.0.52<2<log20.2
C.log20.2<2<0.52 D.0.52<log20.2<2
参考答案:
A
【考点】对数的运算性质.
【分析】由于三个数0<0.52<1,2>1,log20.2<0,即可得出.
【解答】解:∵三个数0<0.52<1,2>1,log20.2<0,
∴log20.2<0.52<.
故选:A.
4. 已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,若a=e1+e2,b=-4e1+2e2,则a与b的
夹角为 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
参考答案:
C
5. 记[x]为不大于x的最大整数,设有集合,,则 ( )
A.(-2,2) B.[-2,2] C. D.
参考答案:
C 解析:由于x=0A,排除答案A、C,又x=-1满足题意,故选C
6. 下列函数既是奇函数,又在区间[﹣1,1]上单调递减的是( )
A.f(x)=sinx B.f(x)=﹣|x+1|
C. D.
参考答案:
D
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】常规题型.
【分析】本题是选择题,可采用逐一检验的方法,只要不满足其中一条就能说明不正确.
【解答】解:f(x)=sinx是奇函数,但其在区间[﹣1,1]上单调递增,故A错;
∵f(x)=﹣|x+1|,∴f(﹣x)=﹣|﹣x+1|≠﹣f(x),∴f(x)=﹣|x+1|不是奇函数,∴故B错;
∵a>1时,y=ax在[﹣1,1]上单调递增,y=a﹣x[﹣1,1]上单调递减,∴f(x)=(ax﹣a﹣x)在[﹣1,1]上单调递增,故C错;
故选 D
【点评】本题综合考查了函数的奇偶性与单调性,是函数这一部分的常见好题.
7. 若的值是( )
A. 0 B. 1 C. -1 D.
参考答案:
B
8. 设,集合,则 ( )
1 B、 C、2 D、
参考答案:
D
略
9. 若函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=2x,则f(﹣2)的值是( )
A.﹣4 B. C. D.4
参考答案:
A
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】先根据函数f(x)是R上的奇函数将f(﹣2)转化成求f(2)的值,代入当x>0时f(x)的解析式中即可求出所求.
【解答】解:函数f(x)是R上的奇函数则f(﹣x)=﹣f(x)
∴f(﹣2)=﹣f(2)
∵当x>0时,f(x)=2x,
∴f(2)=4,则f(﹣2)=﹣f(2)=﹣4.
故选:A.
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质,通常将某些值根据奇偶性转化到已知的区间上进行求解,属于基础题.
10. 某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了
调查,设平均每人每天做作业的时间为分钟.
有1000名小学生参加了此项调查,调查所得数
据用程序框图处理(如图),若输出的结果是
680,则平均每天做作业的时间在0~60分钟内的学生的频率是( )
A. 680 B. 320 C. 0.68 D. 0.32
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 圆O1:(x﹣2)2+(y+3)2=4与圆O2:(x+1)2+(y﹣1)2=9的公切线有 条.
参考答案:
3
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【分析】判断两个圆的位置关系,即可判断公切线的条数.
【解答】解:两圆O1:(x﹣2)2+(y+3)2=4与圆O2:(x+1)2+(y﹣1)2=9的圆心距为: =5.
两个圆的半径和为:5,∴两个圆外切.
公切线有3条.
故答案为:3.
12. 已知点A(2,-4),B(-6, 2),则的坐标为
参考答案:
(-8,2)
13. 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满足f(2x﹣1)<f()的x取值范围是 .
参考答案:
(,)
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】压轴题.
【分析】本题采用画图的形式解题比较直观.
【解答】解:如图所示:
∵f(2x﹣1)<f()
∴﹣<2x﹣1<,
即<x<.
故答案为:(,)
【点评】本题考查函数的奇偶性的应用.关键是利用了偶函数关于y轴对称的性质.
14. 已知,则cosθ= ; = .
参考答案:
,.
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】根据同角三角函数关系式和两角和与差的公式即可求解.
【解答】解:∵,
则cosθ=﹣=
=sinθcos+cosθsin==
故答案为:,.
15. 在△ABC中,AB = 4,AC = 3,,D是AB的中点,则______.
参考答案:
6
16. 已知幂函数的图象过点,则f(x)=____________.
参考答案:
【分析】
设幂函数的解析式为,将点的坐标代入求出参数即可.
【详解】解:设幂函数的解析式为
因为函数过点
所以
解得
故答案为
【点睛】本题考查待定系数法求幂函数的解析式,属于基础题.
17. =__________.
参考答案:
2
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分10分)
计算下列各式的值:
(1)
(2)
参考答案:
(1)原式=
== … 5分
(2)原式= 10分
19. 若集合,集合,且,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)若,则,解得;
(2)若,则,解得,此时,适合题意;
(3)若,则,解得,此时,不合题意;
综上所述,实数的取值范围为.
略
20. (本小题满分15分)
设是等比数列的前项和,,,成等差数列.
(Ⅰ)求数列的公比;
(Ⅱ)求证:,,成等差数列;
(Ⅲ)当,,成等差数列时,求的值.
参考答案:
解:(Ⅰ)当时,,,,
,,,不成等差数列,与已知矛盾,. 2分
由得:, 4分
即,
,(舍去),
6分
(Ⅱ),
,,,成等差数列. 9分
(Ⅲ),,成等差数列
,
或,则, 11分
同理:或,则,
或,则,
或,则,
的值为. 15分
略
21. 如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=,在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上,半圆与AC、AB分别相切于点C、M,与BC交于点N),将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.
(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小;
(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.
参考答案:
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台);棱柱、棱锥、棱台的体积;球的体积和表面积.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】根据旋转体的轴截面图,利用平面几何知识求得球的半径与AC长,再利用面积公式与体积公式计算即可.
【解答】解:(1)连接OM,则OM⊥AB
设OM=r,OB=﹣r,在△BMO中,sin∠ABC==?r=
∴S=4πr2=π.
(2)∵△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=,∴AC=1.
∴V=V圆锥﹣V球=π×AC2×BC﹣πr3=π×﹣π×=π.
【点评】本题考查旋转体的表面积与体积的计算.S球=4πr2;V圆锥=πr3.
22. 已知A={x|<3x<9},B={x|log2x>0}.
(Ⅰ)求A∩B和A∪B;
(Ⅱ)定义A﹣B={x|x∈A且x?B},求A﹣B和B﹣A.
参考答案:
【考点】交集及其运算.
【专题】集合.
【分析】(Ⅰ)求出A与B中其他不等式的解集确定出A与B,找出两集合的交集,并集即可;
(Ⅱ)根据A﹣B的定义,求出A﹣B与B﹣A即可.
【解答】解:(Ⅰ)由A中的不等式变形得:3﹣1<3x<32,
解得:﹣1<x<2,即A=(﹣1,2),
由B中的不等式变形得:log2x>0=log21,得到x>1,
∴B=(1,+∞),
则A∩B=(1,2);A∪B=(﹣1,+∞);
(Ⅱ)∵A=(﹣1,2),B=(1,+∞),A﹣B={x|x∈A且x?B},
∴A﹣B=(﹣1,1];B﹣A=[2,+∞).
【点评】此题考查了交集及其运算,并集及其运算,以及新定义,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.