2022年湖北省宜昌市顾家店中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） 　 A． 和 B． y=x和 C． 和y=2lnx D． 和 参考答案： D 2. 已知复数，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限         B．第二象限       C．第三象限       D．第四象限 参考答案： B 3. 已知函数有两个零点，则有       （   ） A． B． C． D． 参考答案： D 4. 对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（　　） A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点 C．3是f（x）的极值 D．点（2，8）在曲线y=f（x）上 参考答案： A 【考点】二次函数的性质． 【专题】创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用． 【分析】可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论． 【解答】解：可采取排除法． 若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b， 即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②， 又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数． 若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈?，不成立； 若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立； 若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不为非零整数，不成立． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题． 7.设S。是公差为d（d≠0）的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和，则下列命题错误的是 A.若d＜0，则列数﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项，则d＜0 C.若数列﹛Sn﹜ D.是递增数列，则对任意n∈Nn，均有Sn＞0 参考答案： D 6. 在ΔABC中，已知A=120°，，，则（     ） A.   B.   C.   D. 参考答案： C 7. 下列命题中是真命题的个数是（   ） （1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行 （3）平行于同一个平面的两条直线互相平行 （4）两条直线能确定一个平面 （5）垂直于同一个平面的两个平面平行 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 参考答案： A 分析：逐一分析判断每一个命题的真假. 详解：对于（1），垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能异面或相交.所以是错误的.对于（2），与同一个平面夹角相等的两条直线可能互相平行，也可能相交或异面，所以是错误的.对于（3），平行于同一个平面的两条直线可能互相平行，也可能异面或相交，所以是错误的.对于（4）两条直线能不一定确定一个平面，还有可能不能确定一个平面,所以是错误的.对于（5），垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，还有可能相交,所以是错误的.故答案为：A 点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的判断，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)判断空间位置关系命题的真假，可以直接证明或者举反例. 8. 已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率等于(    ) （A） （B） （C） （D） 参考答案： C 由渐近线知，则双曲线的离心率，故选C． 9. 定义在R上的可导函数满足，记的导函数为，当时恒有．若，则m的取值范围是 A． B． C． D． 参考答案： D 构造函数，所以构造函数，，所以的对称轴为，所以，是增函数；是减函数。，解得： 【点睛】压轴题，考查导数与函数，涉及到构函数以及对称轴的性质。难度比较大。 10. （2015?威海模拟）已知复数z满足（2﹣i）2?z=1，则z的虚部为（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： D 考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 解答： 解：∵（2﹣i）2=3﹣4i， ∴==， ∴z的虚部为， 故选：D． 点评： 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f（x）=x3+ax+b的图象在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣5=0，则a=　　；b=　 　． 参考答案： ﹣1，﹣3． 求出原函数的导函数，由曲线在x=1处的切线的斜率求得a，再由曲线和直线在x=1处的函数值相等求得b． 解：由f（x）=x3+ax+b，得f′（x）=3x2+a， 由题意可知y′|x=1=3+a=2，即a=﹣1． 又当x=1时，y=﹣3， ∴13﹣1×1+b=﹣3，即b=﹣3． 故答案为﹣1，﹣3． 12. 已知实数，满足，则的取值范围是          参考答案：   考点：解得的线性规划 13. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是      ． 参考答案： 3 14. 曲线在点（0，1）处的切线方程为             。 参考答案： 15. （5分）（2013?兰州一模）有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） 　 A． 16 B． 20 C． 24 D． 32 参考答案： A 略 16. 已知为虚数单位，复数满足，则__________． 参考答案： 17. 如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8n mile．此船的航速是　    　n mile/h． 参考答案： 32 【考点】解三角形的实际应用． 【分析】由题意及图形在△ABS中，已知∠BAS=30°，∠ASB=45°，又已知三角形ABS中边BS=8，先求出边AB的长，再利用物理知识解出． 【解答】解：因为在△ABS中，已知∠BAS=30°，∠ASB=45°，且边BS=8，利用正弦定理可得： ??AB=16， 又因为从A到S匀速航行时间为半个小时，所以速度应为：（mile/h）． 故答案为：32． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答． 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_____，且a，b，c成等差数列，则△ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 参考答案： ①；证明见解析 【分析】 选择①：由余弦降幂公式代入即可求得，结合a，b，c成等差数列可得，，代入余弦定理公式，即可得，结合等式可求得，进而证明为等边三角形. 【详解】选择①， 证明：则由余弦降幂公式可得， 即， 由可得， 又因为a，b，c成等差数列，则B为锐角， 则，， 由余弦定理可知， 代入可得，即， 则，化简可得， 即，又因为， 所以△ABC为等边三角形. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题. 19. 已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+a|． （1）若a=1，解不等式 f（x）≤2|x﹣2|； （2）若f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题． 【分析】（1）将a=1带入不等式，两边平方，解出即可；（2）求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可． 【解答】解：（1）当a=1时，f（x）≤2|x﹣2|， 即|x+1|≤|x﹣2|，即（x+1）2≤（x﹣2）2， 解得：x≤． （2）f（x）=|x﹣2|+|x+a|≥|x﹣2﹣（x+a）|=|a+2|， 若f（x）≥2恒成立，只需|a+2|≥2， 即a+2≥2或a+2≤﹣2，解得：a≥0或a≤﹣4． 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查求函数最值问题，是一道基础题． 20.   过轴上动点，引抛物线的两条切线、。切线斜率分别为和，切点分别为、。 （1）求证：为定值；并且直线过定点； （2）记，当最小时，求的值。 参考答案： （1）（法一）证明：设过A点的直线为：与抛物线联立得： 得： ∴， 为定值。                             ………4分 抛物线方程，求导得，设切点坐标分别为， ∴， 设切点坐标分别为， PQ的直线方程：，由， 得到 整理可得    ∴直线过定点。                 ………7分 （法二）证明：设切点坐标分别为，。求导得， ∴， ∵在直线上，即， ∵P在抛物线方程上得,整理可得， 同理， 所以。  ∴直线过定点。                 ………3分 联立PQ的直线方程和抛物线方程， 可得：， 所以， 所以 为定值                 ……………7分 （2）解：设A到PQ的距离为d.。， 所以，                   ……………10分 设，所以， 当且仅当取等号，即。            …………12分 因为 因为 所以                                     …………15分   略 21. 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）证明：过圆x2+y2=r2上一点Q（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2； （Ⅲ）过椭圆C上一点P向圆x2+y2=1引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值． 参考答案： 考点：椭圆的简单性质． 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（Ⅰ）由题意可得b=2，再由离心率公式可得a=4，b=2，即可得到椭圆方程； （Ⅱ）讨论切线的斜率存在和不存在，由直线的点斜式方程即可得到切线方程； （Ⅲ）设点P坐标为（xP，yP），求得过A，B的切线方程，可得切点弦AB方程，再由两点的距离公式和基本不等式即可得到最小值． 解答： 解：（Ⅰ） 由题意可得b=2，e==，又c2=a2﹣b2， 即有a=4，b=2， 则椭圆C方程为+=1； （Ⅱ）证明：当切线的斜率k存在时，设切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0）， 又因为k=﹣． 故切线方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），即有x0x+y0y=r2． 当k不存在时，切点坐标为（±r，0），对应切线方程为x=±r，符合x0x+y0y=r2， 综上，切线方程为x0x+y0y=r2； （Ⅲ）设点P坐标为（xP，yP），PA，PB是圆x2+y2=1的切线，切点A（x1，y1），B（x2，y2）， 过点A的圆的切线为x1x+y1y=1，过点B的圆的切线为x2x+y2y=1． 由两切线都过P点，x1xP+y1yP=1，x2xP+y2yP=1． 则切点弦AB的方程为xPx+yPy=1，由题