2022年湖南省长沙市油麻田中学高一数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(﹣∞,0)(x1≠x2),都有<0.则下列结论正确的是( )
A.f(0.32)<f(20.3)<f(log25) B.f(log25)<f(20.3)<f(0.32)
C.f(log25)<f(0.32)<f(20.3) D.f(0.32)<f(log25)<f(20.3)
参考答案:
A
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】由对任意x1,x2∈(﹣∞,0),且x1≠x2,都有<0,可知f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,又由f(x)是R上的偶函数可得f(x)在(0,+∞)上是增函数,从而可得结论.
【解答】解:∵对任意x1,x2∈(﹣∞,0),且x1≠x2,都有<0,
∴f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,
又∵f(x)是R上的偶函数,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∵0.32<20.3<log25
∴f(0.32)<f(20.3)<f(log25).
故选:A.
2. 下列函数是偶函数的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
3. 下列函数中,不是周期函数的是 ( )
A.y=|sin x| B.y=sin|x| C.y=|cos x| D.y=cos|x|
参考答案:
B
略
4. 袋中有9个大小相同的小球,其中4个白球,3个红球,2个黑球,现在从中任意取一个,则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】从袋中9个球中任取一个球,取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5,因此,取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为,故选:D.
【点睛】本题考查古典概型概率的计算,解题时要确定出全部基本事件数和所求事件所包含的基本事件数,并利用古典概型的概率公式进行计算,考查计算能力,属于基础题.
5. 设是定义在R上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 已知-1,a,b,-4成等差数列,-1,c,d, e,-4成等比数列,则=( )
A. B.- C. D.或-
参考答案:
C
7. 集合,,那么( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 定义在R上的函数满足,且当时,,则等于( ▲ ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 在△ABC中,已知,则三角形△ABC的形状一定是
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
A
10. 若奇函数在上为增函数,且有最小值0,则它在上
A.是减函数,有最小值0 B.是增函数,有最小值0
C.是减函数,有最大值0 D.是增函数,有最大值0
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知在中,分别为角A,B,C对应的边长.若则 .
参考答案:
12. 已知幂函数的图象过点,则 .
参考答案:
13. 已知三棱锥P-ABC,PA⊥平面ABC,,,,则三棱锥P-ABC的侧面积__________.
参考答案:
【分析】
根据题意将三棱锥放入对应长方体中,计算各个面的面积相加得到答案.
【详解】三棱锥P-ABC,平面,,,
画出图像:
易知:每个面都是直角三角形.
【点睛】本题考查了三棱锥的侧面积,将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键.
14. 已知是奇函数,且.若,则_______ .
参考答案:
略
15. 若f(x)=﹣,则满足f(x)<0的x的取值范围是 .
参考答案:
(0,1)
【考点】指、对数不等式的解法;其他不等式的解法.
【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可.
【解答】解:f(x)=﹣,若满足f(x)<0,
即<,
∴,
∵y=是增函数,
∴的解集为:(0,1).
故答案为:(0,1).
【点评】本题考查指数不等式的解法,指数函数的单调性的应用,考查计算能力.
16. 若=,=,则 .
参考答案:
(-3,-2)
17. 已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ–)= .
参考答案:
【分析】
由题求得θ的范围,结合已知求得cos(θ),再由诱导公式求得sin()及cos(),进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan(θ)的值.
【详解】解:∵θ是第四象限角,
∴,则,
又sin(θ),
∴cos(θ).
∴cos()=sin(θ),sin()=cos(θ).
则tan(θ)=﹣tan().
故答案为:.
【点睛】本题考查两角和与差的正切,考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用,是基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知f(x)=(logmx)2+2logmx﹣3(m>0,且m≠1).
(Ⅰ)当m=2时,解不等式f(x)<0;
(Ⅱ)f(x)<0在[2,4]恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题.
【分析】(Ⅰ)当m=2时,可得(log2x)2+2log2x﹣3<0,即为﹣3<log2x<1,由对数函数的单调性,可得不等式的解集;
(Ⅱ)由f(x)<0在[2,4]恒成立,得﹣3<logmx<1在[2,4]恒成立,讨论m>1,0<m<1,解出x的范围,再由恒成立思想,可得m的范围.
【解答】解:(Ⅰ)当m=2时,f(x)<0,
可得(log2x)2+2log2x﹣3<0,
即为﹣3<log2x<1,
解得<x<2,
故原不等式的解集为{x|<x<2};
(Ⅱ)由f(x)<0在[2,4]恒成立,
得﹣3<logmx<1在[2,4]恒成立,
①当m>1时,解得m﹣3<x<m,
即有m﹣3<2且4<m,
解得m>4;
②当0<m<1时,解得m<x<m﹣3,
即有m﹣3>4且m<2,
解得0<m<.
故实数m的取值范围是(0,)∪(4,+∞).
19. (本小题满分12分)
已知函数.
(1)若函数有两个零点,求的取值范围;
(2)若函数在区间与上各有一个零点,求的取值范围.
参考答案:
解(1)函数有两个零点,即方程有两个不等实根,
令,即,解得;又,
所以的取值范围为,
(2)若函数在区间与上各有一个零点,由的图像可知,只需
, 即,解得。
略
20. (本小题满分14分)
过点的直线与轴、轴正半轴交于两点,求满足下列条件的直线的方程,为坐标原点,(1)面积最小时;(2)最小时;(3)最小时.
参考答案:
解一:由题意,设,直线方程为.又直线过点
,得
(1)
当面积最小时,即最小,
得
当且仅当即时取等号,此时直线的方程为
,即
(2)
当且仅当,即时取等号,
此时直线的方程为
,即.
(3)
当且仅当,即时取等号,
此时直线的方程为
,即.
解二:设直线的倾斜角为(),则
(1)
当且仅当,即(舍去!)时取等号,
此时直线 的方程为,即.
(2)
当且仅当,即(舍去!)时取等号,
此时直线 的方程为,即.
(3)
当且仅当,即时取等号,
此时直线 的方程为,即.
21. 计算:
(1);
(2)(lg 5)2+lg 2?lg 50.
参考答案:
【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.
【分析】(1)利用指数幂的运算性质即可得出.
(2)利用对数的运算性质及其lg2+lg5=1即可得出.
【解答】解:(1)原式=.
(2)原式=(lg 5)2+lg 2?(lg 2+2lg 5)
=(lg 5)2+2lg 5?lg 2+(lg 2)2
=(lg 5+lg 2)2=1.
22. 求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件.
参考答案:
解:当a=0时,方程为2x+1=0,解得x=-,符合题目要求;
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,
它有实根的充要条件为:Δ=4-4a≥0,解得a≤1.
设方程ax2+2x+1=0的两实根为x1,x2,则
由根与系数的关系得x1+x2=-,x1·x2=.
①方程ax2+2x+1=0恰有一个负实根的充要条件是 ,解得a<0;
②方程ax2+2x+1=0有两个负实根的充要条件是 ,解得0<a≤1.
综上所述,a≤1为所求.