江苏省常州市金沙高级中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量, =(3,m),m∈R,则“m=﹣6”是“”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.
【分析】由?﹣1×(2+m)﹣2×2=0,即可得出.
【解答】解: =(﹣1,2)+(3,m)=(2,2+m).
由?﹣1×(2+m)﹣2×2=0,?m=﹣6.
因此“m=﹣6”是“”的充要条件.
故选:A.
【点评】本题考查了向量的共线定理、充要条件,属于基础题.
2. 《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑,如图2,在鳖臑PABC中,PA ⊥平面ABC,AB⊥BC,且AP=AC=1,过A点分别作AE 1⊥ PB于E、AF⊥PC于F,连接EF当△AEF的面积最大时,tan∠BPC的值是
A B. C. D
参考答案:
B
显然,则,又,则,于是,,结合条件得,所以、均为直角三角形,由已知得,而,当且仅当时,取“=”,所以,当时,的面积最大,此时,故选B.
3. 圆关于直线成轴对称图形,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过对角线AC1的一个平面交BB1于E,交DD1于F得四边形AEC1F,则下列结论正确的是( )
A.四边形AEC1F一定为菱形
B.四边形AEC1F在底面ABCD内的投影不一定是正方形
C.四边形AEC1F所在平面不可能垂直于平面ACC1A1
D.四边形AEC1F不可能为梯形
参考答案:
D
对于A,当与两条棱上的交点都是中点时,四边形为菱形,故A错误;
对于B, 四边形在底面内的投影一定是正方形,故B错误;
对于C, 当两条棱上的交点是中点时,四边形垂直于平面,故C错误;
对于D,四边形一定为平行四边形,故D正确.
故选:D
5. 复数的共轭复数是( )
A.2﹣i B.﹣2﹣i C.2+i D.﹣2+i
参考答案:
D
【考点】复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.
【专题】计算题.
【分析】首先要对所给的复数进行整理,分子和分母同乘以分母的共轭复数,化简到最简形式,把得到的复数虚部变为相反数,得到要求的共轭复数.
【解答】解:∵复数===﹣2﹣i,
∴共轭复数是﹣2+i.
故选:D.
【点评】复数的加减乘除运算是比较简单的问题,在高考时有时会出现,若出现则是一定要得分的题目.
6. 如果若干个函数的图像经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数:
①;②;
③;④.其中“同簇函数”的是( )
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
参考答案:
C
略
7. 已知函数,若关于x的方程有六个不同的实根,则a的取值范围是 ( )
A. B. C. D.(8,9)
参考答案:
C
8. 函数满足等于
A. B. C.2 D.13
参考答案:
B
略
9. 已知直线m,n和平面α,β满足m⊥n,m⊥α,α⊥β,则
A.n⊥β B.n∥α C.n∥β或n D.n∥α或n
参考答案:
D
【分析】
根据空间几何的垂直平行关系,找出反例即可。
【详解】根据条件,画出示意图反例如下图
可分别排除A、B、C
所以选D
10. 下列函数中,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是虚数单位,则▲.
参考答案:
【知识点】复数的基本运算.L4
解析:,故答案为。
【思路点拨】在分式的分子分母同时乘以即可。
12. 己知函数,当曲线y = f(x)的切线L的斜率为正数时,L在x轴上截距的取值范围为____________.
参考答案:
略
13. 某公司对一批产品的质量进行检测,现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测,对这100件产品随机编号后分成5组,第一组1~20号,第二组21~40号,…,第五组81~100号,若在第二组中抽取的编号为24,则在第四组中抽取的编号为 .
参考答案:
64
设在第一组中抽取的号码为,则在各组中抽取的号码满足首项为,公差为的等差数列,即,
又第二组抽取的号码为,即,所以,
所以第四组抽取的号码为.
14. 现有7名志愿者,其中只会俄语的有3人,既会俄语又会英语的有4人. 从中选出4人
担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作,2人担任英语翻译,2人担任俄语翻译,共有
种不同的选法.
参考答案:
60
15. 曲线在处的切线方程为__________.
参考答案:
【分析】
求出和的值,利用点斜式可求得所求切线的方程.
【详解】,,,,
因此,曲线在处的切线方程为,即.
故答案为:.
【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程,考查计算能力,属于基础题.
16. 齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为 .
参考答案:
17. 已知,则 ▲ .
参考答案:
试题分析:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在三棱柱中,侧面底面,,,,E,F分别为AC,的中点.
(1)求证:直线EF∥平面;
(2)求二面角的余弦值.
参考答案:
(1)取的中点G,连接EG,FG,由于E,F分别为AC,的中点,
所以FG∥.又平面,平面,
所以FG∥平面.又AE∥且AE=,
所以四边形是平行四边形.
则∥.又平面,平面,
所以EG∥平面.
所以平面EFG∥平面.又平面,
所以直线EF∥平面. 6分
(2)令AA1=A1C=AC=2,
由于E为AC中点,则A1E⊥AC,又侧面AA1C1C⊥底面ABC,交线为AC,A1E平面A1AC,
则A1E⊥平面ABC,连接EB,可知EB,EC,两两垂直.以E为原点,分别以EB,EC,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,),A(0,-1,0),.
所以,,,
令平面A1BC的法向量为,
由则令,则.
令平面B1BC的法向量为,
由则令,则.
由,故二面角的余弦值为. 12分
19. 已知.
(Ⅰ)求函数的最大值为M;
(Ⅱ)在第(1)问的条件下,设,且满足,求证:
.
参考答案:
(1)2;(2)见解析
【分析】
(Ⅰ)将代入,对x分类讨论,并根据x的范围确定的最大值。
(Ⅱ)因为,由进行化简,利用三角不等式结合均值不等式进行证明。
【详解】(Ⅰ),即
知.
(Ⅱ)由,知
.
当且仅当,即.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,均值不等式的简单应用,注意分类讨论思想的重要应用,属于中档题。
20. 在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(1)利用面面垂直的性质定理即可得出;
(2)建立如图所示的空间直角坐标系.设直线AD与平面MBC所成角为θ,利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出.
【解答】(1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB?平面ABD,AB⊥BD,
∴AB⊥平面BCD,又CD?平面BCD,∴AB⊥CD.
(2)解:建立如图所示的空间直角坐标系.
∵AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,
∴B(0,0,0),C(1,1,0),A(0,0,1),D(0,1,0),M.
∴=(0,1,﹣1),=(1,1,0),=.
设平面BCM的法向量=(x,y,z),则,
令y=﹣1,则x=1,z=1.
∴=(1,﹣1,1).
设直线AD与平面MBC所成角为θ.
则sinθ=|cos|===.
21. (本小题满分12分)已知函数
(I)化简函数f(x)的解析式,并求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)在锐角△ABC中,若,求△AB C的面积.
参考答案:
(1)
(2)
22. (本小题满分12分)已知函数f(x)=+3-ax.
(1)若f(x)在x=0处取得极值,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若关于x的不等式f(x)≥+ax+1在x≥时恒成立,试求实数a的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ), ∵在处取得极值,
, …………2分
则……4分
曲线在点处的切线方程为:
. ……………5分
(II)由,得,
即 ,∵,∴, ……7分
令 , 则. ………8分
令 ,则.
∵,∴,∴在上单调递增, ……10分
∴,因此,故在上单调递增,
则,∴,即的取值范围是. …………12分