江苏省无锡市哈佛女子高级中学2022年高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数,的值域为( )
A.R B.[0,1] C.[2,5] D.[5,+∞)
参考答案:
C
由题意得函数在区间上单调递增,
∴,即,∴在的值域为.故选C.
2. 下列各组函数表示相等函数的是( )
A.y=与y=x+2 B.y=与y=x﹣3
C.y=2x﹣1(x≥0)与s=2t﹣1(t≥0) D.y=x0与y=1
参考答案:
C
【考点】判断两个函数是否为同一函数.
【专题】函数思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,判断它们是同一函数.
【解答】解:对于A,函数y==x+2(x≠2),与y=x+2(x∈R)的定义域不同,所以不是同一函数;
对于B,函数y=(x≤﹣3x≥3),与y=x﹣3(x∈R)的定义域不同,对应关系也不同,所以不是同一函数;
对于C,函数y=2x﹣1(x∈R),与y=2t﹣1(t∈R)的定义域相同,对应关系也相同,所以是同一函数;
对于D,函数y=x0=1(x≠0),与y=1(x∈R)的定义域不同,所以不是同一函数.
故选:C.
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题,是基础题目.
3. 若集合A={0,1,2,4},B={1,2,3},则A∩B=( )
A. {0,1,2,3,4} B. {0,4} C. {1,2} D. {3}
参考答案:
C
【详解】因为,所以选C.
考点:本小题主要考查集合的基本运算,属容易题,熟练集合的基础知识是解答好集合题目的关键.
4. 点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,则空间四边形的4条边和2条对角线中与平面EFGH平行的条数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
5. 已知向量=(-,-1),=(, ),且//,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 在△ABC中,若,则( )
A. 15° B. 75° C. 75°或105° D. 15°或75°
参考答案:
D
分析:先根据正弦定理求C,再根据三角形内角关系求A.
详解:因为,所以
所以
因此,
选D.
点睛:在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其它边角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用.
8. 已知函数,若存在,,使成立,则实数的取值范围是 ( )
A. B. C.或 D.或
参考答案:
D
略
9. 已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)
=(x+1)f(x),则f()的值是( )
A. B.1 C. D.0
参考答案:
D
10. 已知点A(2,﹣3),B(﹣3,﹣2),直线m过P(1,1),且与线段AB相交,求直线m的斜率k的取值范围为( )
A. B. C.﹣4≤k≤ D.≤k≤4
参考答案:
A
【考点】7B:二元一次不等式(组)与平面区域.
【分析】根据题意,设直线m的方程为y﹣1=k(x﹣1),分析可得若直线m与线段AB相交,即A、B在直线的两侧或直线上,则有[(﹣3)﹣2k+k﹣1][(﹣2)﹣(﹣3)k+k﹣1]≤0,解可得k的范围,即可得答案.
【解答】解:根据题意,直线m过P(1,1),设直线m的方程为y﹣1=k(x﹣1),
即y﹣kx+k﹣1=0,
若直线m与线段AB相交,即A、B在直线的两侧或直线上,
则有[(﹣3)﹣2k+k﹣1][(﹣2)﹣(﹣3)k+k﹣1]≤0,
解可得:k≥或k≤﹣4;
故选:A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数f(x)=,在R上为增函数,则实数b的取值范围为 .
参考答案:
[,0]
【考点】函数单调性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据反比例函数、二次函数的单调性及增函数的定义便可得到,解该不等式组即可得出实数b的取值范围.
【解答】解:f(x)在R上为增函数;
∴;
解得;
∴实数b的取值范围为[].
故答案为:[].
【点评】考查分段函数单调性的判断,反比例函数、二次函数的单调性,以及增函数的定义.
12. 在等差数列{an}中,,则( )
A. 3 B. 9 C. 2 D. 4
参考答案:
A
【分析】
根据等差数列的性质得到
【详解】等差数列中,,根据等差数列的运算性质得到
故答案为:A.
【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用,属于基础题.
13. 函数f(x)=()x+1,x∈[﹣1,1]的值域是 .
参考答案:
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域.
【专题】计算题.
【分析】根据x的范围确定的范围,然后求出函数的值域.
【解答】解:因为x∈[﹣1,1],所以
所以
即f(x)∈
故答案为:
【点评】本题考查指数函数的定义域和值域,考查基本知识掌握程度.
14. 已知,则的值为 。
参考答案:
15. 对于正整数若且为整数),当最小时,则称为的“最佳分解”,并规定(如12的分解有其中,为12的最佳分解,则)。关于有下列判断:①②;③
④。其中,正确判断的序号是 .
参考答案:
②④
16. 已知,则从小到大用“﹤”号排列为___________.
参考答案:
略
17.
参考答案:
[-3,+∞)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)对任意正数p,q都有,当x>4时,f(x)>,且f()=0.
(1)求f(2)的值;
(2)证明:函数f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解关于x的不等式f(x)+f(x+3)>2.
参考答案:
【考点】函数与方程的综合运用.
【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】(1)抽象函数常用赋值法求解;
(2)=﹣=﹣.按照单调性的定义,任取0<x1<x2,则f(x2)﹣f(x1)=﹣=﹣=+﹣1=﹣,
由于>4,可得﹣>0,即可证明.
(3)解抽象函数的不等式,常化为f(m)>f(n)的形式,然后结合单调性求解.
【解答】(1)解:,∴,
∴,
解得f(2)=1.
(2)证明:=﹣=﹣.
任取0<x1<x2,
则f(x2)﹣f(x1)=﹣=﹣=+﹣1=﹣,
∵>4,∴﹣>0,
∴f(x2)﹣f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).
∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)解:∵f(2×2)=f(2)+f(2)﹣=1+1﹣=.
f(x)+f(x+3)=f(x2+3x)+>2.
∴,
∴,解得x∈(1,+∞),
∴原不等式的解集为(1,+∞).
【点评】本题考查了抽象函数的求值与单调性、不等式的性质,考查了变形推理能力与计算能力,属于中档题.
19. 如图,在三棱柱ABC–A1B1C1中,AB=BC,D为AC的中点,O为四边形B1C1CB的对角线的交点,AC⊥BC1.求证:
(1)OD∥平面A1ABB1;
(2)平面A1C1CA⊥平面BC1D.
参考答案:
(1)详见解析;(2)详见解析.
【分析】
(1)连结,根据三棱柱的性质,得到四边形为平行四边形,从而得到O为的中点,结合题的条件,得到,利用线面平行的判定定理证得结果;
(2)利用等腰三角形,得到,又因为,之后应用线面垂直的判定定理证得平面,再应用面面垂直的判定定理证得平面平面.
【详解】证明:(1)连结,在三棱柱中,
四边形为平行四边形,
从而O为平行四边形对角线的交点,所以O为的中点.
又D是AC的中点,从而在,中,有,
又平面,平面,
所以平面.
(2)在中,因为,D为AC的中点,
所以.
又因为,
,,平面,
所以平面,
因为平面,
所以平面平面.
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有线面平行的判定,面面垂直的判定,属于简单题目.
20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式.
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
参考答案:
【考点】5D:函数模型的选择与应用;6E:利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(I)由建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.我们可得C(0)=8,得k=40,进而得到.建造费用为C1(x)=6x,则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x),我们不难得到f(x)的表达式.
(II)由(1)中所求的f(x)的表达式,我们利用导数法,求出函数f(x)的单调性,然后根据函数单调性易求出总费用f(x)的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)设隔热层厚度为xcm,由题设,每年能源消耗费用为.
再由C(0)=8,得k=40,
因此.
而建造费用为C1(x)=6x,
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
(Ⅱ),令f'(x)=0,即.
解得x=5,(舍去).
当0<x<5时,f′(x)<0,当5<x<10时,f′(x)>0,故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为.
当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值为70万元.
【点评】函数的实际应用题,我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程,在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制,解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题,利用函数模型,转化为求函数的最大(小)是最优化问题中,最常见的思路之一.
21. 已知的顶点,边上的高所在直线方程为,边上的中线所在直线方程为(1)求点的坐标;(2)求边的长.
参考答案:
略
22. 现需要设计一个仓库,由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD - A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若,,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,当PO1为多少时,下部的正四棱柱侧面积最大,最大面积是多少?
参考答案:
(1)(2)当为时,下部分正四棱柱侧面积最大,最大面积是.
【分析】
(1)直接利用棱锥和棱柱的体积公式求解即可;
(2)设,下部分的侧面积为,由已知正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.可以求出的长,