山东省威海市实验中学高二数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 集合,,则( )
A。 B。 C。 D。
参考答案:
C
略
2. 设Sn是等差数列{an}的前n项和,,,则( )
A.90 B.54 C.-54 D.-72
参考答案:
C
因为,所以,,,,故答案为C.
3. p:?x0∈R,x+m≤0,q:?x∈R,x2+mx+1>0,如果p,q都是命题且(¬p)∨q为假命题,则实数m的取值范围是( )
A.m≤﹣2 B.﹣2≤m≤0 C.0≤m≤2 D.m≥2
参考答案:
A
【考点】复合命题的真假.
【分析】p:?x0∈R,x+m≤0,可得m≤,因此m≤0.可得¬p.q:?x∈R,x2+mx+1>0,△<0,解得m范围.即可得出(¬p)∨q.
【解答】解:p:?x0∈R,x+m≤0,∴m≤,因此m≤0.∴¬p:m>0.
q:?x∈R,x2+mx+1>0,△=m2﹣4<0,解得﹣2<m<2.
∴(¬p)∨q为:﹣2<m.
如果p,q都是命题且(¬p)∨q为假命题,
∴m≤﹣2.
故选:A.
【点评】本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
4. 已知a ,b ,m∈R ,则下面推理中正确的是( )
A.a>b B.
C. D.
参考答案:
C
5. 设(1+i)=1+,其中x,y为实数,则=( )
A. 1 B. C. D. 2
参考答案:
B
【分析】
根据复数相等的充要条件,求得,再由复数模的计算公式,即可求解.
【详解】由题意知,复数满足,可得,解得,
所以,故选B.
【点睛】本题主要考查了复数相等的充要条件,以及复数模的计算,其中解答中熟记复数相等的充要条件和复数模的计算公式,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
6. 如图,在中△ABC,∠CBA=∠CAB=30°,AC、BC边上的高分别为BD、AE,则以A、B为焦点,且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( )
A. B.1 C.2 D.2
参考答案:
A
【考点】椭圆的简单性质;双曲线的简单性质.
【分析】根据题意设出AB,进而根据椭圆的定义可求得a和c的关系式,求得椭圆的离心率.进而利用双曲线的性质,求得a和c关系,求得双曲线的离心率,然后求得二者离心率倒数和.
【解答】解:设|AB|=2c,则在椭圆中,有c+c=2a, ==,
而在双曲线中,有c﹣c=2a, ==,
∴+=+=
故选A
7. 双曲线的离心率为,则两条渐近线的方程是( ).
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
B
8. 方程表示的曲线是 ( )
A.两条射线和一个圆 B.一条直线和一个圆
C.一条射线和一个半圆 D.两条射线和一个半圆
参考答案:
A
略
9. 定义为n个正数p1,p2,…pn的“均倒数”.若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为,又,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】类比推理.
【专题】新定义;点列、递归数列与数学归纳法.
【分析】由已知得a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn,求出Sn后,利用当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,即可求得通项an,最后利用裂项法,即可求和.
【解答】解:由已知得,
∴a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1,验证知当n=1时也成立,
∴an=4n﹣1,
∴,
∴
∴=+()+…+()=1﹣=.
故选C.
【点评】本题考查数列的通项与求和,考查裂项法的运用,确定数列的通项是关键.
10. 函数的单调递增区间是
A. B.(0,3) C.(1,4) D. w.w.w.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若曲线 C1:y=x2与曲线 C2:y=aex(a≠0)存在公共切线,则a的取值范围为 .
参考答案:
(﹣∞,0)∪(0,]
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】分别求出两个函数的导函数,由两函数在切点处的导数相等,并由斜率公式,得到由此得到m=2n﹣2,则4n﹣4=aen有解.再由导数即可进一步求得a的取值.
【解答】解:y=x2在点(m,m2)的切线斜率为2m,
y=aex在点(n,aen)的切线斜率为aen,
如果两个曲线存在公共切线,那么:2m=aen.
又由斜率公式得到,2m=,
由此得到m=2n﹣2,
则4n﹣4=aen有解.
由y=4x﹣4,y=aex的图象有交点即可.
设切点为(s,t),则aes=4,且t=4s﹣4=aes,
即有切点(2,4),a=,
故a的取值范围是:a≤且a≠0.
故答案为:(﹣∞,0)∪(0,].
12. 与曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程是
参考答案:
13. 正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上,若该正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为,则这个球的表面积为 .
参考答案:
36π
【考点】球的体积和表面积.
【专题】计算题;作图题.
【分析】画出图形,正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,记为O,求出PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积.
【解答】解:正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,
记为O,PO=AO=R,PO1=4,OO1=R﹣4,或OO1=4﹣R(此时O在PO1的延长线上),
在Rt△AO1O中,R2=8+(R﹣4)2得R=3,∴球的表面积S=36π
故答案为:36π
【点评】本题考查球的表面积,球的内接体问题,考查计算能力,是基础题.
14. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),在极坐标系中(在直角坐标系中,以O为极点,以轴正半轴为极轴),曲线的方程为,若与有且只有一个公共点,则= .
参考答案:
15. 如果的展开式中系数绝对值最大的项是第4项,则的系数为 。
参考答案:
-6
16. 若,则= .
参考答案:
3
17. 将正方形沿对角线折成直二面角,有如下四个结论:
① ②是等边三角形
③与平面成的角 ④与所成的角为
其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号) w.
参考答案:
①②④
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (13分)已知数列的前项和为,且满足.
(1)证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式;
(2)若,数列的前项和为.求满足不等式
的的最小值.
参考答案:
(1)因为Sn+n=2an,所以Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2,n∈N*).
两式相减,得an=2an-1+1.
所以an+1=2(an-1+1)(n≥2,n∈N*),所以数列{an+1}为等比数列.
因为Sn+n=2an,令n=1得a1=1.a1+1=2,所以an+1=2n,所以an=2n-1.
(2)因为bn=(2n+1)an+2n+1,所以bn=(2n+1)·2n.
所以Tn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n, ①
2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1, ②
①-②,得-Tn=3×2+2(22+23+…+2n)-(2n+1)·2n+1
19. (本小题满分12分)
已知函数有三个极值点。
(I)证明:;
(II)若存在实数c,使函数在区间上单调递减,求的取值范围。
参考答案:
解:(I)因为函数有三个极值点,
所以有三个互异的实根. ……………………1分
设则
当时, 在上为增函数;
当时, 在上为减函数;
当时, 在上为增函数;
所以函数在时取极大值,在时取极小值. ……………………3分
当或时,最多只有两个不同实根.
因为有三个不同实根, 所以且.
即,且,
解得且故.……………………5分
(II)由(I)的证明可知,当时, 有三个极值点.
不妨设为(),则
所以的单调递减区间是,
若在区间上单调递减,
则, 或,……………………………………6分
若,则.由(I)知,,于是
若,则且.由(I)知,
又当时,;…………8分
当时,.
因此, 当时,所以且
即故或反之, 当或时,
总可找到使函数在区间上单调递减. ……………………11分
综上所述, 的取值范围是.………………………………………12分
20. (本小题满分12分)求满足下列条件的直线的方程:
(1)经过点A(3,2),且与直线4x+y-2=0平行;
(2)经过点B(2,-3),且平行于过点M(1,2)和N(-1,-5)的直线;
(3)经过点C(3,0),且与直线2x+y-5=0垂直.
参考答案:
解:(1)由直线4x+y-2=0得直线的斜率为-4, (2分)
所以经过点A(3,2),且与直线4x+y-2=0平行的直线方程为
y-2=-4(x-3),即4x+y-14=0. (4分)
(2)由已知,经过两点M(1,2)和N(-1,-5)的直线的斜率
, (6分)
所以,经过点B(2,-3),且平行于MN的直线方程为
,即7x-2y-20=0. (8分)
(3)由直线2x+y-5=0得直线的斜率为-2, (9分)
所以与直线2x+y-5=0垂直的直线的斜率为. (10分)
所以,经过点C(3,0),且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为
,即x-2y-3=0. (12分)
略
21. (本题12分)已知数列…,…,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明。
参考答案:
(2)假设当n=k(k)时猜想成立,即
那么,
==
==
所以,当n=k+1时猜想也成立。根据(1)和(2),可知猜想对任何n都成立。
22. 用二分法求方程在上的近似解,精确到,写出算法。画出流程图,并写出算法语句.
参考答案:
解析:算法如下:
1、取中点,将区间一分为二
2、若,则就是方程的根;否则所求根在的左侧或右侧
若