湖南省娄底市涟源第六中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 把化为十进制数为( )
A.20 B.12 C.10 D.11
参考答案:
C
略
3. 下列求导运算正确的是( )
A.(log2x)′= B.(x+)′=1+
C.[sin(﹣x)]′=cos(﹣x) D.(x2cosx)′=﹣2sinx
参考答案:
A
【考点】导数的运算.
【分析】根据导数的运算法则求导,再判断即可.
【解答】解:(log2x)′=,(x+)′=1﹣,
[sin(﹣x)]′=﹣cosx,(x2cosx)′=2xcosx﹣x2sinx,
故选:A.
4. 为了了解某学校2000名高中男生的身体发育情况,抽查了该校100名高中男生的体重情况.根据所得数据画出样本的频率分布直方图,据此估计该校高中男生体重在70~78kg的人数为( )
A.240 B.160 C.80 D.60
参考答案:
A
略
5. 在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d≠0,若am=a1+a2+…+a9,则m的值为( )
A.37 B.36 C.20 D.19
参考答案:
A
【考点】8E:数列的求和;83:等差数列.
【分析】利用等差数列的通项公式可得am=0+(m﹣1)d,利用等差数列前9项和的性质可得a1+a2+…+a9=9a5=36d,二式相等即可求得m的值.
【解答】解:∵{an}为等差数列,首项a1=0,am=a1+a2+…+a9,
∴0+(m﹣1)d=9a5=36d,又公差d≠0,
∴m=37,
故选A.
6. 已知向量a,若向量与垂直,则的值为 ( )
A. B.7 C. D.
参考答案:
A
7. 若一个球的表面积为12π,则它的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】球的体积和表面积.
【专题】计算题;方程思想;综合法;立体几何.
【分析】直接利用球的表面积公式,求出球的半径,即可求出球的体积.
【解答】解:设球的半径为r,
因为球的表面积为12π,
所以4πr2=12π,所以r=,
所以球的体积V==4π.
故选:A.
【点评】本题考查球的表面积、体积公式的应用,考查计算能力.
8. 圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角弧度数为( )
A. B. C. D.2
参考答案:
C
【分析】等边三角形ABC是半径为 r的圆O的内接三角形,则线AB所对的圆心角∠AOB=,求出AB的长度(用r表示),就是弧长,再由弧长公式求圆心角弧度数.
【解答】解:如图,等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形,
则线AB所对的圆心角∠AOB=,
作OM⊥AB,垂足为M,在 rt△AOM中,AO=r,∠AOM=,
∴AM=r,AB=r,
∴l= r,由弧长公式 l=|α|r,
得,α===.
故选 C.
【点评】本题考查圆心角的弧度数的意义,以及弧长公式的应用,体现了数形结合的数学思想.
9. 已知函数,且关于的方程有且只有一个实根,则实数的范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是有理数
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知a1=1,an﹣an﹣1=2(n≥2,n∈N*),则{an}的前n项和为 .
参考答案:
n2
【考点】等差数列的通项公式.
【专题】转化思想;分析法;等差数列与等比数列.
【分析】利用等差数列的定义、前n项和公式即可得出.
【解答】解:由a1=1,an﹣an﹣1=2(n≥2,n∈N*),数列{an}是等差数列,首项为1,公差为2,
∴前n项和Sn=n+=n2.
故答案为:n2.
【点评】本题考查了等差数列的性质、等差数列的定义、前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
12. 已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0b4,0c4,记事件A为 “函数f(x)满足条件:”则事件A发生的概率为 .
参考答案:
13. 不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为 .
参考答案:
(﹣∞,﹣3]∪[2,+∞)
【考点】绝对值不等式的解法.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.
【解答】解:由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5,可得①,或 ②,或 ③.
解①求得x≤﹣3,解②求得 x∈?,解③求得x≥2.
综上,不等式的解集为(﹣∞,﹣3]∪[2,+∞),
故答案为:(﹣∞,﹣3]∪[2,+∞).
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.
14. 已知6,a,b,48成等差数列,6,c,d,48成等比数列,则a+b+c+d的值为 .
参考答案:
90
【考点】等比数列的性质;等差数列的性质.
【分析】根据6,a,b,48成等差数列,可得a+b=6+48,根据6,c,d,48成等比数列,可得48=6q3,故公比q=2,求出c和d的值,即得a+b+c+d的值.
【解答】解:根据6,a,b,48成等差数列,可得a+b=6+48=54,根据6,c,d,48成等比数列,
可得48=6q3,故公比q=2,故c+d=12+24=36,∴a+b+c+d=54+36=90,
故答案为90.
15. (2x-4)dx=________.
参考答案:
略
16. 若(为虚数单位)是关于的方程的一个根,则的值为 .
参考答案:
13
17. 函数f(x)=+lg的定义域为 .
参考答案:
(2,3)∪(3,4]
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】使解析式有意义的自变量的集合,列出不等式组解之即可.
【解答】解:要使解析式有意义,只要,解得
即函数定义域为(2,3)∪(3,4];
故答案为:(2,3)∪(3,4].
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知是方程的两个不等实根,函数的定义域为。
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明:对于,若 。
参考答案:
解析:(Ⅰ)设
则
又
故在区间上是增函数。 .5分
10分
(Ⅱ)证:
15分
,而均值不等式与柯西不等式中,等号不能同时成立,
20分
19. 已知椭圆C:的离心率为,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点A的坐标为(﹣a,0),|AB|=,求直线l的倾斜角.
参考答案:
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】(1)由题意可知:根据椭圆的离心率及菱形的面积公式,即可求得a和b的值,求得椭圆的方程;
(2)设直线l方程,代入椭圆方程,求得B点坐标,利用两点之间的距离公式,即可求得丨AB丨,即可求得k的值,求得直线l的倾斜角.
【解答】解:(1)由椭圆的离心率e===,则a2=4b2,a=2b,①
由×2a×2b=4,即ab=2,②
由①②解得:a=2,b=1,
∴椭圆的方程;
(2)由题知,A(﹣2,0),直线l斜率存在,故设l:y=k(x+2),
则,整理得:(1+4k2)x2+16k2x+(16k2﹣4)=0,△>0,
由,得,,
∴,
∴,∴k=±1.
故直线的倾斜角为或.
【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查两点之间的距离公式,考查计算能力,属于中档题.
20. 已知函数f(x)=的定义域为R.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若m的最大值为n,当正数a,b满足+=n时,求7a+4b的最小值.
参考答案:
【考点】函数的最值及其几何意义;基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】(1)由题意可得|x+1|+|x﹣1|﹣m≥0恒成立,可设函数g(x)=|x+1|+|x﹣1|,运用绝对值不等式的性质,可得g(x)的最小值为2,即有m≤2;
(2)运用乘1法,变形可得7a+4b=(7a+4b)(+)= [2(3a+b)+(a+2b)](+),展开后运用基本不等式,可得最小值,注意等号成立的条件.
【解答】解:(1)因为函数定义域为R,
所以|x+1|+|x﹣1|﹣m≥0恒成立.
设函数g(x)=|x+1|+|x﹣1|,则m不大于函数g(x)的最小值.
又|x+1|+|x﹣1|≥|(x+1)﹣(x﹣1)|=2,
即g(x)的最小值为2,所以m≤2.
故m的取值范围为(﹣∞,2];
(2)由(1)知n=2,正数a,b满足+=2,
所以7a+4b=(7a+4b)(+)
= [2(3a+b)+(a+2b)](+)
= [5++]≥(5+2)=,
当且仅当a+2b=3a+b,即b=2a=时,等号成立.
所以7a+4b的最小值为.
21. 如图,已知椭圆C的方程为,点P(a,b)的坐标满足,过点P的直线l与椭圆交于A、B两点,点Q为线段AB的中点,求:
(1)点Q的轨迹方程;
(2)点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.
参考答案:
【考点】圆锥曲线的综合.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】(1)先把A、B两点和点Q的坐标设出来,再分A、B两点的横坐标相等和不相等两种情况分别设出直线l的方程,再利用A、B两点既在直线上又在椭圆C上,可以找到A、B两点坐标之间的关系,最后利用中点坐标公式,就可求点Q的轨迹方程(注意要反过来检验所求轨迹方程是否满足已知条件);
(2)先找到曲线L与y轴的交点(0,0),(0,b)以及与x轴的交点坐标(0,0),(a,0),再对a和b的取值分别讨论,分析出与坐标轴的交点的个数(注意点P(a,b)的坐标满足).
【解答】解:(1)设点A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),点Q的坐标为Q(x,y).当x1≠x2时,设直线l的斜率为k,则l的方程为y=k(x﹣a)+b
由已知①
y1=k(x1﹣a)+b,y2=k(x2﹣a)+b②
由①得③
由②得y1+y2=k(x1+x2)﹣2ak+2b④
由③④及,,,
得点Q的坐标满足方程2x2+y2﹣2ax﹣by=0⑤
当x1=x2时,k不存在,此时l平行于y轴,因此AB的中点Q一定落在x轴上,即Q的坐标为(a,0).
显然点Q的坐标满足方程⑤
综上所述,点Q的坐标满足方程2x2+y2﹣2ax﹣by=0.
设方程⑤所表示的曲线为L,
则由
得(2a2+b2)x2﹣4ax+2﹣b2=0.
因为,由已知,
所以当时,△=0,曲线L与椭圆C有且只有一个交点P(a,b).
当时,△<0,曲线L与椭圆