天津南孙庄中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)的定义域为R,f(﹣2)=2021,对任意x∈(﹣∞,+∞),都有f'(x)<2x成立,则不等式f(x)>x2+2017的解集为( )
A.(﹣2,+∞) B.(﹣2,2) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,+∞)
参考答案:
C
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】构造函数g(x)=f(x)﹣x2﹣2017,利用对任意x∈R,都有f′(x)<2x成立,即可得出函数g(x)在R上单调性,进而即可解出不等式.
【解答】解:令g(x)=f(x)﹣x2﹣2017,则g′(x)=f′(x)﹣2x<0,
∴函数g(x)在R上单调递减,
而f(﹣2)=2021,
∴g(﹣2)=f(﹣2)﹣(﹣2)2﹣2017=0,
∴不等式f(x)>x2+2017,可化为g(x)>g(﹣2),
∴x<﹣2,
即不等式f(x)>x2+2017的解集为(﹣∞,﹣2),
故选:C.
2. 以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0
C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0
参考答案:
B
3. 直线2x-my+1-3m=0,当m变动时,所有直线都通过定点 ( )
A.(,3) B. (,3) C. (,-3) D. (,-3)
参考答案:
D
4. 四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号位子上,第一次前后排动物互换座位,第二次左右列动物互换座位,……,这样交替进行下去,那么第2005次互换座位后,小兔的座位对应的是 ( )
A.编号1 B.编号2 C.编号3 D.编号4
参考答案:
A
略
5. 设,集合是奇数集,集合是偶数集.若命题,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
6. 下表是关于x与y的一组数据,则y关于x的线性回归方程必过点( )
x
0
1
2
3
y
1
2.9
5.1
7
A. (2,2) B. (1.5,2) C. (1.5,4) D. (1,2)
参考答案:
C
【分析】
根据线性回归方程经过样本中心点得解.
【详解】由题得,
所以样本中心点为.
所以线性回归方程必过点.
故选:C
【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7. 三个数、、的大小顺序是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
8. 在同一坐标系中,将曲线y=3sin2x变为曲线y′=sinx′的伸缩变换是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】伸缩变换.
【分析】将曲线3sin2x变为曲线y′=sinx′,横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的倍,从而得出答案.
【解答】解:将曲线y=3sin2x变为曲线y′=sinx′,
横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的倍,
将曲线y=3sin2x变为曲线y′=sinx′的伸缩变换是:,
故选:B.
9. 已知椭圆的一个焦点为F(0,1),离心率,则该椭圆的标准程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由题意得,椭圆的焦点在y轴上,且c=1,e==,从而可得a=2,b=,从而写出椭圆的标准方程.
【解答】解:由题意得,椭圆的焦点在y轴上,
且c=1,e==,
故a=2,b=,
则椭圆的标准方程为,
故选A.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程的求法,属于基础题.
10. 已知集合,,若,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,-3) B.(-∞,-3] C.[-3,+ ∞) D. (-3,+ ∞)
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)满足,则f(x)的极值点为____ __.
参考答案:
0
12. 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(0,-1),B(0,1).P是圆C上的动点,当|PA|2+|PB|2取最大值时,点P的坐标是________.
参考答案:
()
13. 一个棱长为的正四面体纸盒内放一个正方体,并且能使正方体在纸盒内可以任意转动,则正方体棱长最大为 .
参考答案:
14. 已知角的终边经过点P(-1,),则cos=_____
参考答案:
15. 抛物线y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为 .
参考答案:
9
【考点】定积分.
【分析】先联立方程,组成方程组,求得交点坐标,可得被积区间,再用定积分表示出曲线yy2=4x与直线y=2x﹣4所围成的封闭图形的面积,即可求得结论
【解答】解:联立方程组,解得或,
∴曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=(y+2﹣y2)dy=(y2+2y﹣)|=9,
故答案为:9
16. 将二进制数化为十进制数,结果为__________
参考答案:
45
17. 在复平面内,复数(i是虚数单位)对应的点在第______象限.
参考答案:
二
【分析】
求解出复数,写出对应点的坐标,根据坐标得出象限.
【详解】解:,
故复数对应点的坐标为,
故复数对应点在第二象限.
【点睛】本题考查了复数的运算,复数的几何意义,运算正确与否是解题正确与否的关键,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列{},为其前 项的和,.
(I)求数列{}的通项公式;
(II)若,求数列{}的前项的和.
参考答案:
解:(Ⅰ)依题意……………………2分解得
.………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ,
,所以数列是首项为,公比为9的等比数列,……………7分
数列的前项的和.………………10分
略
19. 已知等差数列{an}的公差大于0,且a3,a5是方程x2﹣14x+45=0的两根,数列{bn}的前n项的和为Sn,且.
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)记cn=an?bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式.
【分析】(Ⅰ)由已知可得,且a5>a3,联立方程解得a5,a3,进一步求出数列{an}通项,数列{bn}中,利用递推公式
(Ⅱ)用错位相减求数列{cn}的前n和
【解答】解:(Ⅰ)∵a3,a5是方程x2﹣14x+45=0的两根,且数列{an}的公差d>0,
∴a3=5,a5=9,公差.
∴an=a5+(n﹣5)d=2n﹣1.(3分)
又当n=1时,有
∴
当,∴.
∴数列{bn}是首项,公比等比数列,
∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,则(1)
∴=(2)(10分)
(1)﹣(2)得: =
化简得:(12分)
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解,利用递推公式求通项,体现了数学中的转化思想;一般的,若数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,求数列{an?bn}的前n和可采用错位相减法.
20. (本小题满分12分)
等差数列的前项和记为,已知
(1)求通项;
(2)若求。
参考答案:
1)
,即
(2)
解得
略
21. 某产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下的对应数据:
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)求回归直线方程;
(2)据此估计广告费用为10时销售收入y的值.
附:线性回归方程中系数计算公式,,其中,表示样本均值.
参考答案:
考点:
回归分析的初步应用..
专题:
应用题;概率与统计.
分析:
(1)根据所给的数据计算出x,y的平均数和回归直线的斜率,即可写出回归直线方程,
(2)由(1)中的回归直线方程,把所给的自变量x代入方程,得到y的一个估计值,得到结果.
解答:
解:(1),(1分)
,(2分)
,(3分)
,(4分)
,(6分)
,(8分)
所以回归直线方程为.(9分)
(2)x=10时,预报y的值为y=6.5×10+17.5=82.5.(12分)
点评:
本题考查回归分析的初步应用,写方程要用的斜率和x,y的平均数都要经过计算算出,这样的题有一定的运算量,是一个基础题.
22. (本小题满分12分)如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线和与椭圆的交点分别为和.
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程
(Ⅱ)设直线、的斜率分别为、,证明;
(Ⅲ)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1) 椭圆的标准方程为,双曲线的标准方程为
(3) (Ⅱ)设点P(,),则=,=,所以=
,又点P(,)在双曲线上,所以有,即,所以
=1。
(Ⅲ)假设存在常数,使得恒成立,则由(Ⅱ)知,所以设直线AB的方程为,则直线CD的方程为,
由方程组消y得:,设,,
则由韦达定理得:
所以|AB|==,同理可得
|CD|===,
又因为,所以有=+
=,所以存在常数,使得恒成立。
略