河南省驻马店市王勿桥乡中学2022年高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的集合为 A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 将三视图还原成四棱柱即可得解. 【详解】 该几何体是四棱柱，底面是边长为1的正方形，侧棱长为, 故选B. 【点睛】由三视图还原几何体时应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称． 2. 设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则在四面体的面BCD上的的射影可能是（    ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 参考答案： C 【分析】 由题意可知四面体为正四面体，根据正四面体的特点可求得在平面上的射影点在中线上，且，又平面，可得射影三角形，从而得到结果. 【详解】四面体各棱长相等，可知四面体为正四面体 取中点，连接，如下图所示： 作平面，垂足为，由正四面体特点可知，为中心，且 作平面，垂足为，可知，且为中点，则 即在平面上的射影点为 又平面 即为在平面上的射影，可知③正确 本题正确选项： 【点睛】本题考查投影图形的求解问题，关键是能够确定射影点所处的位置，属于基础题. 3. 右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于  (          )   A．                          B． C．      D．                               参考答案： A 4. 已知命题p、q，“为真”是“p为假”的   (A)充分不必要条件    (B)必要不充分条件   (C)充要条件         (D)既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 5. 已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是   （A）复数的虚部为                  （B）复数的虚部为        （C）复数的共轭复数为         （D）复数的模为 参考答案： 【知识点】复数运算 L4 D解析：由复数概念可知虚部为-3，其共轭为，故选D. 【思路点拨】由复数概念直接可得. 6. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线方程是y=x，则双曲线的离心率是（　　） 　 A． B． C． D． 2 参考答案： D 略 7. 偶函数,在上单调递增，则)与的大小关系是(     ) A.         　　B. C. 　        　D. 参考答案： D 略 8. 如图，函数的大致图象是（    ） 参考答案： C 9. 已知命题p：直线l1：2ax+y+1=0，l2：x+2ay+2=0，l1∥l2的充分不必要条件是a=；命题q：?x∈（0，π），sinx+＞2，则下列判断正确的是（　　） A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题 C．命题p∨（￢q）是假命题 D．命题p∧（￢q）是真命题 参考答案： D 【考点】2E：复合命题的真假． 【分析】命题p：由2a×2a﹣1=0，解得a=．即可判断出命题p的真假．命题q：?x∈（0，π），sinx+≥2，x=时取等号，可得q是假命题．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论． 【解答】解：命题p：由2a×2a﹣1=0，解得a=．经过验证可得：a=l1∥l2． ∴l1∥l2的充分不必要条件是a=，因此p是真命题． 命题q：?x∈（0，π），sinx+≥2，x=时取等号，∴q是假命题． ∴只有命题p∧（￢q）是真命题． 故选：D． 【点评】本题考查了直线平行的充要条件、基本不等式的性质、三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10. 已知为等比数列，若，则的值为 （      ） A．10 B．20           C．60 D．100 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是             ． 参考答案： 5 12. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为__________． 参考答案： 略 13. 若函数在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数在上是增函数,则a=____. 参考答案： 14. 设,则的展开式中含项的系数是        参考答案： 40 略 15. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn=　　尺． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【分析】根据题意可知，大老鼠和小老鼠打洞的距离为等比数列，根据等比数列的前n项和公式，求得Sn． 【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列， 前n天打洞之和为=2n﹣1， 同理，小老鼠每天打洞的距离=2﹣， ∴Sn=2n﹣1+2﹣=， 故答案为：=． 16. 在△ABC中，B(10，0)，直线BC与圆Γ：x2＋(y－5)2＝25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为        ． 参考答案： 【答案解析】(0，15) 或 (－8，－1)解析：由已知得过点B与圆相切的切线长为10，则以B为圆心，切线长为半径的圆的方程为与已知圆的方程联立 解得切点坐标为（0,0）或（4,8），所以C点坐标为（－10,0）或 （－2,16），又已知圆心坐标为（0,5）设A点坐标为(x,y)，利用三角形重心坐标公式得A点坐标为(0，15) 或 (－8，－1). 【思路点拨】本题的关键是先求切点坐标，可转化为两圆的交点问题，联立方程求切点坐标. 17. 函数的反函数=_____________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知f（x）=ex与g（x）=ax+b的图象交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点． （Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最小值； （Ⅱ）且PQ的中点为M（x0，y0），求证：f（x0）＜a＜y0． 参考答案： 【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；3H：函数的最值及其几何意义；57：函数与方程的综合运用． 【分析】（Ⅰ）先求导，利用导数求出函数最小值即可， （Ⅱ）利用分析法，要证f（x0）＜a＜y0，只需证，构造函数，利用导数只需证明，再构造函数，根据导数和函数的单调性的关系即可证明 【解答】解：（Ⅰ）h（x）=ex﹣ax﹣b，求导得h'（x）=ex﹣a 当a≤0时，h'（x）＞0，h（x）在R上为增函数，不满足有两个零点，故不合题意； 所以a＞0，令h'（x）=0，解得x=lna， 并且有x∈（﹣∞，lna），h'（x）＜0；x∈（lna，+∞），h'（x）＞0， 故． （Ⅱ）证明：要证f（x0）＜a＜y0成立， 即证，不妨设x2＞x1， 只需证， 即为， 要证，只需证， 令， 只需证F（t）＞0，求导， ∴F（t）在（0，+∞）为增函数， 故F（t）＞F（0）=0， ∴； 要证， 只需证明， 令， 求导， ∴G（t）在（0，+∞）为减函数，故G（t）＜G（0）=0， ∴； ∴，t＞0，成立， ∴f（x0）＜a＜y0成立． 19. （本小题满分12分）已知点F（0，a），直线l：y=-a，其中a为定值且a>0，点N为l上一动点，过N作直线l1⊥l．l2为NF的中垂线，l1与l2交于点M，点M的轨迹为曲线C （I）求曲线C的方程； （Ⅱ）若E为曲线C上一点，过点E作曲线C的切线交直线l于点Q，问在y轴上是否存在一定点，使得以EQ为直径的圆过该点，如果存在，求出该点坐标，若不存在说明理由． 参考答案： 20. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0 （1）求C的大小； （2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值． 参考答案： 【考点】余弦定理的应用． 【专题】三角函数的求值；解三角形． 【分析】（1）利用三角形的内角转化为A的三角函数，利用两角和的正弦函数求解结合正弦定理求出表达式，求出结合即可． （2）由余弦定理以及基本不等式求解最值即可． 【解答】解：（1）cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0 可得：cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0 即：sinA﹣acosC=0． 由正弦定理可知：， ∴， ∴asinC﹣acosC=0， sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角， ∴C=． （2）由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC， 得1=a2+b2﹣ab 又， ∴， 即：． 当时，a2+b2取到最大值为2+． 【点评】本题考查三角形的最值，余弦定理的应用，正弦定理的应用，考查计算能力． 21. 设等差数列的前项和为，且（是常数，），. （Ⅰ）求的值及数列的通项公式； （Ⅱ）证明：. 参考答案： （Ⅰ）解：因为，       所以当时，，解得，                    当时，，即，解得，       所以，解得；                     则，数列的公差， 所以.                   （Ⅱ）因为     .     因为 所以 .  略 22. 选修4-5：不等式选讲 已知函数，． （Ⅰ）当时，解不等式； （Ⅱ）若关于x的不等式有解，求a的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）当时，即解不等式 当时，不等式可化为，即，与矛盾无解 当时，不等式可化为， 即，所以解得 当时，不等式可化为， 即，所以解得 综上所述，不等式的解集为 （Ⅱ） 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时， 不等式有解等价于， 故的取值范围为