山西省忻州市附属外国语中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 要得到的图象只需将y=3sin2x的图象 ( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
参考答案:
C
2. 方程的根所在区间为
A. B. C. D.
参考答案:
3. 执行右面的程序框图,若输出的结果是,则输入的值是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
4. 在同一坐标系中,函数与的图像之间的关系是( )
A.关于轴对称 B.关于原点对称 C.关于轴对称 D.关于直线对称
参考答案:
D
略
5. 若角的终边与单位圆交于点,则( )
A. B. C. D. 不存在
参考答案:
B
【分析】
由三角函数的定义可得:,得解.
【详解】解:在单位圆中,,
故选B.
【点睛】本题考查了三角函数的定义,属基础题.
6. 已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A、B、C关系是( )
A. B=A∩C B. B∪C=C C. AC D. A=B=C
参考答案:
B
【分析】
由集合A,B,C,求出B与C的并集,判断A与C的包含关系,以及A,B,C三者之间的关系即可.
【详解】由题BA,
∵A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},
∴B∪C={小于90°的角}=C,即BC,
则B不一定等于A∩C,A不一定是C的真子集,三集合不一定相等,
故选B.
【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算,熟练掌握象限角,锐角,以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键,是易错题
7. 已知点在如图所示的平面区域(阴影部分)内运动,则的最大值是( )
A.1 B.3
C.5 D.13
参考答案:
D
8. 已知平面向量=(2,4),=(-1,2),若=-(·),则||等于 ( )
A、4 B、2 C、8 D、8
参考答案:
D
9. 已知f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若f(lgx)>f(1),则实数x的取值范围是( )
A.(,1) B.(0,)∪(1,+∞) C.(,10) D.(0,1)∪(10,+∞)
参考答案:
C
【考点】函数单调性的性质;偶函数.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用偶函数的性质,f(1)=f(﹣1),在[0,+∞)上是减函数,在(﹣∞,0)上单调递增,列出不等式,解出x的取值范围.
【解答】解:∵f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,
∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,
由f(lgx)>f(1),f(1)=f(﹣1)
得:﹣1<lgx<1,
∴<x<10,
故答案选C.
【点评】本题考查偶函数的性质及函数单调性的应用.
10. 以为圆心,为半径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设是由正数组成的等差数列,是其前n项和.
(1)若;
(2)已知互不相等的正整数,满足p+q=2m.证明: ;
(3)是否存在常数和等差数列,使恒成立(n∈N*)?若存在, 试求出常数和数列的通项公式;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(基本量法也可行)
(也可用基本不等式直接证).
略
12. 若的最大值是3,则的值是 .
参考答案:
1
13. 半径为2的圆中,120°圆心角所对的弧的长度 .
参考答案:
【考点】G7:弧长公式.
【分析】利用弧长公式l=计算.
【解答】解:由弧长公式可得:l===.
故答案为:
14. 设,求AB=___________;AB=___________。
参考答案:
略
15. 若2a=5b=10,则= .
参考答案:
1
【考点】对数的运算性质.
【专题】计算题.
【分析】首先分析题目已知2a=5b=10,求的值,故考虑到把a和b用对数的形式表达出来代入,再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得,即可得到答案.
【解答】解:因为2a=5b=10,
故a=log210,b=log510
=1
故答案为1.
【点评】此题主要考查对数的运算性质的问题,对数函数属于三级考点的内容,一般在高考中以选择填空的形式出现,属于基础性试题同学们需要掌握.
16. 设奇函数在(0,+∞)上为增函数,且,则不等式的解集为__________.
参考答案:
(-1,0)∪(0,1)
∵函数是奇函数,
∴,
∴不等式等价于,即或.
根据条件可作出—函数的大致图象,如图所示:
故不等式的解集为.
17. 函数的单调递增区间是
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在对数函数的图象上有三个点A,B,C,它们的横坐标依次为,
其中.设△的面积为S.
(1)求;
(2)求的最大值.
参考答案:
,
19. (本小题满分13分)已知直线的方向向量,且过点,将直线绕着它与x轴的交点B按逆时针方向旋转一个锐角得到直线,直线:.
(1)求直线和直线的方程;
(2)当直线,,所围成的三角形的面积为3时,求直线的方程。
参考答案:
(1) (2分)
(5分)
(2)得出过定点, (7分)
求出与的交点 (8分)
求出点A到的距离为 (9分)
求出的方程: (11分)
(13分)
20. 求满足下列条件的曲线方程:
(1)经过两条直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点,且垂直于直线6x﹣8y+3=0的直线
(2)经过点C(﹣1,1)和D(1,3),圆心在x轴上的圆.
参考答案:
【考点】圆的一般方程.
【分析】(1)联立方程,求出点P的坐标,利用所求直线l与6x﹣8y+3=0垂直,可设直线l的方程为8x+6y+C=0,代入P的坐标,可求直线l的方程;
(2)设圆心为M(a,0),由|MA|=|MB|求得a的值,可得圆心坐标以及半径的值,从而求得圆的方程.
【解答】解:(1)由,解得x=3,y=2,
∴点P的坐标是(3,2),
∵所求直线l与8x+6y+C=0垂直,
∴可设直线l的方程为8x+6y+C=0.
把点P的坐标代入得8×3+6×2+C=0,即C=﹣36.
∴所求直线l的方程为8x+6y﹣36=0,
即4x+3y﹣18=0.
(2)∵圆C的圆心在x轴上,设圆心为M(a,0),由圆过点A(﹣1,1)和B(1,3),
由|MA|=|MB|可得 MA2=MB2,即(a+1)2+1=(a﹣1)2+9,求得a=2,
可得圆心为M( 2,0),半径为|MA|=,故圆的方程为 (x﹣2)2+y2=10.
21. (本小题满分12分)
已知,是二次函数,当时,的最小值为1,且为奇函数,求函数的表达式.
参考答案:
解:设
则.···························································· 2分
又为奇函数,.························································· 4分
对称轴 .
当时,在上为减函数
∴的最小值为又,
∴此时无解.········································································································· 6分
当时,
∵,此时 ·································· 8分
当时,在上为增函数∴的最小值为
,又满足∴ ················································· 10分
综上所述,或 12分
略
22. (本小题满分12分)
如图所示,已知空间四边形,分别是边的中点,分别是边上的点,且,
求证:
(Ⅰ)四边形为梯形;
(Ⅱ)直线交于一点.
参考答案:
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得相交于一点,因为面,面,
面面,所以,所以直线交于一点.