浙江省杭州市英才中学2022年高三数学理联考试卷含解析-

浙江省杭州市英才中学2022年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设Sn是等差数列的前n项和，若，则＝( ) A.2 B. C. D. 参考答案： A 2. 下列推理是归纳推理的是Ａ．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式Ｃ．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇参考答案： C 3. 已知集合，集合，则（） A． B． C． D．参考答案： B 4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1 ＋a2011，且A、B、C三点共线(O为该直线外一点)，则S2011= (　　) A．2011　　　 B.　　　 C．22011　　　 D．2－2011 参考答案： B 略 5. 若复数z＝x＋yi(x、yR，i是虚数单位)满足：，则动点(x，y)的轨迹方程是( ) A.x2＋(y－1)2＝4 B.x2＋(y＋1)2＝4 C.(x－1)2＋y2＝4 D.(x＋1)2＋y2＝4 参考答案： A 6. 已知p：，q：，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】首先根据绝对值不等式的解法，求得不等式的解集，之后根据原命题和逆否命题等价，求得是的充分不必要条件，再利用集合的思想，求得参数所满足的条件，得到结果. 【详解】由，解得或，因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，从而可得是的真子集，所以，故选D. 【点睛】该题考查的是有关充分条件的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，原命题与逆否命题等价，用集合的思想解决充分条件，最后求得参数的范围，得到结果. 7. 命题“?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2”的否定形式是（　　） A．?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2 C．?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2 D．?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2 参考答案： C 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2的否定?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 8. 函数的最大值与最小值之和为( ) (A)　　　(B)0　　　(C)－1　　　(D) 参考答案： A 当时，，，即，所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值，所以最大值和最小值之和为，选A. 9. 已知，向量与垂直，则实数的值为（A）（B）（C）（D）参考答案： A 10. 在的展开式中，各项系数之和为,各项的二项式系数之和为，且，则展开式中常数项为( ) A.6 B.9 C.12 D.18 参考答案： B 略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 命题“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为　　．参考答案： [﹣2，2] 考点：命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．分析：根据题意，原命题的否定“?x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需△≤0．解答：解：原命题的否定为“?x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．故答案为：[﹣2，2] 点评：存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用． 12. 已知奇函数满足时，，则的值为。参考答案： 13. 在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题： ①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在曲线是直线； ②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹所在曲线是圆； ③若P满足∠MAP=∠MAC1，则动点P的轨迹所在曲线是椭圆； ④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为1：2，则动点P的轨迹所在曲线是双曲线； ⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是抛物丝．其中真命题是　　（写出所有真命题的序号）参考答案： ①②④ 【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】由BD1⊥面AB1C，可得P在面AB1C和面BCC1B1的交线上判断①正确；由平面截球面轨迹是圆判断②正确；利用平面截圆锥侧面可得P点轨迹所在曲线是双曲线的一支，说明③错误；由双曲线定义说明④正确；建立空间坐标系，由|PF|=|PG|列式求出动点P的轨迹说明⑤错误．【解答】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确；对于②，满足到点A的距离为的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1 的点P应为以AM为轴，以AC1 为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；对于④，P到直线C1D1 的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1， ∴动点P的轨迹所在曲线是以C1 为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确；对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得，即x2﹣y2=1， ∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．故答案为：①②④．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题． 14. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果。参考答案： 5 略 15. 在△ABC中，若D为BC 的中点，则有，将此结论类比到四面体中，在四面体 A﹣BCD中，若G为△BCD的重心，则可得一个类比结论：　　．参考答案：【考点】向量在几何中的应用．【分析】“在△ABC中，D为BC的中点，则有，平面可类比到空间就是“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”，可得结论．【解答】解：由“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”有，由类比可得在四面体A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则有．故答案为：． 16. 已知正实数满足，则的最小值为_____________. 参考答案：略 17. 我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是　　．参考答案： 195 【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意，给每个人的钱数组成首项为3，公差为1的等差数列，由此求出等差数列的前n项和，列出方程求解．【解答】解：设共有n人，根据题意得； 3n+=100n，解得n=195； ∴一共有195人．故答案为：195．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和的应用问题，也考查了方程思想的应用问题，是基础题目．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，写出曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求出A，B，P的坐标，即可求△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（θ为参数），普通方程为（x﹣2）2+y2=4，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ；直线l的极坐标方程为，即，直线l的直角坐标方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）联立射线与曲线C及直线l的极坐标方程可得，联立射线与曲线C的极坐标方程可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴|AB|=2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 19. （本小题满分13分）在中，角、、所对的边分别为，．（I）求角的大小；（Ⅱ）若，求函数的最小正周期和单增区间．参考答案：解：（Ⅰ） ……………………2分由得 , ………………5分（Ⅱ） ………………6分 = ………………10分所以，所求函数的最小正周期为由得所以所求函数的单增区间为 ………………13分略 20. 已知函数．（1）若函数的图象有两个不同的交点M，N，求a的取值范围；（2）设点A(x1，y1)，B（x2，y2）(x1

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