河北省保定市史家寨中学高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设集合,若,则y的值为
A.0 B. 1 C.e D.
参考答案:
A
略
2. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于
A. B. C. 4 D.
参考答案:
A
略
3. 设全集U=R,集合A={x||x|≤1},B={x|log2x≤1},则?UA∩B等于( )
A.(0,1] B. C.(1,2] D.(﹣∞,﹣1)∪
参考答案:
C
考点: 交、并、补集的混合运算.
专题: 集合.
分析: 求出A与B中不等式的解集确定出A与B,找出A补集与B的交集即可.
解答: 解:由A中不等式解得:﹣1≤x≤1,即A=,
由B中不等式变形得:log2x≤1=log22,
解得:0<x≤2,即B=(0,2],
∴?UA=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),
则(?UA)∩B=(1,2],
故选:C.
点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
4. 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据,并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图.根据该图,下列结论中正确的是( )
A.人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数等于20%
B.人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数小于20
C.人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数等于20%
D.人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数小于20%
参考答案:
B
5. 已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是
A. 关于直线对称 B. 关于点对称
C. 周期为2π D. 在上是增函数
参考答案:
D
当时,,∴f(x)不关于直线对称;
当时, ,∴f(x)关于点对称;
f(x)得周期,
当时, ,∴f(x)在在上是增函数。
本题选择D选项.
6. 若f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数t都有f(+t)=f(﹣t),且f()=﹣3,则实数m的值等于( )
A.﹣1 B.±5 C.﹣5或﹣1 D.5或1
参考答案:
C
【考点】HK:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】利用对任意实数t都有f(+t)=f(﹣t)得到x=为f(x)的对称轴,得到f()为最大值或最小值,得到2+m=﹣3或
﹣2+m=﹣3求出m的值.
【解答】解:因为对任意实数t都有f(+t)=f(﹣t),
所以x=为f(x)的对称轴,
所以f()为最大值或最小值,
所以2+m=﹣3或﹣2+m=﹣3
所以m=﹣5或m=﹣1
故选C.
7. 下列曲线中焦点坐标为的是()
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
8. 已知,则( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
参考答案:
C
9. 已知,且ab>0,则下列不等式不正确的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
答案:B
10.
设,变量,满足约束条件,则的最大值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
答案:A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的反函数 .
参考答案:
(不标明定义域不给分);
略
12. 某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是 .
参考答案:
13. 已知随机变量服从正态分布. 若,则
等于 .
参考答案:
14. 设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),
则函数的图象一定过点 .
参考答案:
【答案】(-1,2)
【解析】由函数的图象过点(1,2)得: 即函数过点 则其反函数过点所以函数的图象一定过点
15. 经过点且与曲线相切的直线的方程是____________.
参考答案:
略
16. 已知函数是定义在R上的奇函数,当时,给出以下命题:①当时,; ②函数有五个零点;
③若关于的方程有解,则实数的取值范围是;
④对恒成立。其中,正确结论的代号是 。
参考答案:
17. 若公比为2的等比数列{an}满足a7=127a,则{an}的前7项和为 .
参考答案:
1
【分析】利用等比数列的通项公式列出方程,求出首项,再由等比数列的前n项和公式能求出数列的前7项和.
【解答】解:∵公比为2的等比数列{an}满足a7=127a,
∴,
解得,
∴{an}的前7项和为S7=?=1.
故答案为:1.
【点评】本题考查数列的前7项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设二次函数f(x)=x2﹣ax+2(x∈R,a<0),关于x的不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素.
(1)设数列{an}的前n项和Sn=f(n)(n∈N*),求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=(n∈N*),则数列{bn}中是否存在不同的三项能组成等比数列?请说明理由.
参考答案:
考点:数列的应用;二次函数的性质.
分析:(1)由题设条件知a2﹣4×2=0?a=﹣2,故f(x)=(x+)2.an=Sn﹣Sn﹣1=2n+2﹣1,所以an=.
(2)求出数列{bn}的通项,假设数列{bn}中存在不同的三项构成等比数列,利用等比数列的性质,建立等式,即可得出结论.
解答: 解:(1)∵关于x的不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素,
∴二次函数f(x)=x2﹣ax+2(x∈R,a<0)的图象与x轴相切,
则△=(﹣a)2﹣4×2=0,
∵a<0,
∴a=﹣2.
∴f(x)=x2+2x+2=(x+)2,
∴数列{an}的前n项和Sn=(n+)2(n∈N*).
于是,当n≥2,n∈N*时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n+)2﹣[(n﹣1)+]2=2n+2﹣1,
当n=1时,a1=S1=(1+)2=3+2,不适合上式.
所以数列{an}的通项公式为an=.
(2)由(1)知,Sn=n2+2n+2(n∈N*).
∵bn=,
∴bn===n+2.
假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(正整数p,q,r互不相等)成等比数列,则bq2=bp?br,
即(q+2)2=(p+2)(r+2),
整理,得
(pr﹣q)2+2(p+r﹣2q)=0.
因为p,q,r都是正整数,所以,
于是pr﹣()2=0,即(p﹣r)2=0,从而p=r与p≠r矛盾.
故数列{bn}中不存在不同的三项能组成等比数列.
点评:本题主要考查数列通项公式的求解及等比数列性质的研究.第(1)问由不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素,得到Sn=f(n),然后由此求出数列{an}的通项公式,由Sn求通项an时注意检验初始项a1是否满足;第(2)问判断数列{bn}中是否存在不同的三项能组成等比数列,基本方法是先假设它们成等比数列,再证明问题是否有解.
19. 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的圆心为C2.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)过原点且与直线 (t为参数,)平行的直线C3与C2的交点为M,N,且的面积为2,求的值.
参考答案:
(1)是以为圆心,为半径的圆;极坐标方程为;(2)或
【分析】
(1)消去参数得到的普通方程;将,代入的普通方程中,得到的极坐标方程;(2)令为:,代入可求得交点坐标,利用的面积构造方程,可求得.
【详解】(1)消去参数得到的普通方程为:
是以为圆心,为半径的圆
将,代入的普通方程中
得到的极坐标方程为:
(2)直线的极坐标方程为,与的交点分别为,
,得
得:或
【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标的互化、极坐标的几何意义的应用,属于常规题型.
20. (本小题满分10分)选修4-—4:坐标系与参数方程
已知坐标系中的极点与直角坐标系中的坐标原点重合,极轴与轴的正半轴重合,且两个坐标系选用相同的单位长度.曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出曲线的直角坐标方程,并指明它是什么曲线;
(Ⅱ)已知直线的参数方程为(为参数,),当直线与相切(即与只有一个交点)时,求.
参考答案:
解:(Ⅰ)由.
即曲线的直角坐标方程为,它是中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆.
……5分
(Ⅱ)将代入得 ①
依题意①式的判别式
而或. ……10分
21. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
若点 在曲线C的参数方 ( 为参数. )上,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求 的范围.
(2)若射线 与曲线C相交于A,B两点,求 的值.
参考答案:
22. 函数。
(I)若函数在处取得极值,求的值;
(II)若函数的图象在直线图象的下方,求的取值范围;
(III)求证:。
参考答案:
略