湖南省岳阳市平江县第五中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，则＝ A.        B.         C.          D. 参考答案： C 略 2. 下列给出函数与的各组中，是同一个关于x的函数的是            （   ） A．          B． C．             D． 参考答案： C 略 3. 若实数，满足条件则的最大值为（   ） （A）（B）（C）（D） 参考答案： A 令，即，做出可行域,由图象可知当直线过点A时直线截距最大，z最小，经过点B时，截距最小，z最大.由题意知A(0,3)，B,所以最大值为，选A. 4. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是        A．       B．        C．       D． 参考答案： A 5. （），则的值为（     ） A．              B．     C．,         D． 参考答案： D 略 6. 设函数的图像在点处切线的斜率为k，则函数k=g(t) 的部分图像为（   ）   参考答案： B 7. 用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。设(x0),    则的最大值是                                   （  ）    A．4            B．5           C．6            D．7             参考答案： C 分别作出函数的图象，由图象可知，点的函数值最大，此时由，解得，所以选C. 8. 执行程序框图，若输出的结果是，则输入的a为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 参考答案： D 【考点】循环结构． 【分析】由题意按照循环计算前几次结果，判断最后循环时的n值，求出判断框的条件，即可得到输入的数值． 【解答】解：第1次循环，n=1，S=， 第2次循环，n=2，S=， 第3次循环，n=3，S=， 第4次循环，n=4，S=， 因为输出的结果为，所以判断框的条件为n＜4， 所以输入的a为：4． 故选D． 9. 若则（　　　） A.    B.     C.    D.1 参考答案： 【知识点】定积分.B13  【答案解析】B 解析：设，则，，所以.故选B. 【思路点拨】本题考查了定积分以及微积分基本定理的应用. 10. 在半径为的球面上有三点，如果，，则球心到平面的距离为 A.             B.           C.           D. 参考答案： C 【知识点】点、线、面间的距离计算．B4    解析：由题意在△ABC中，AB=cm，∠ACB=60°， 由正弦定理可求得其外接圆的直径为=16，即半径为8，又球心在面ABC上的射影是△ABC外心，故球心到面的距离，求的半径、三角形外接圆的半径三者构成了一个直角三角形， 设球面距为d，球半径为10，故有d2=10282=36，解得d=6故选C． 【思路点拨】由题意，在△ABC中，AB=cm，∠ACB=60°，由正弦定理可求得其外接圆的直径为=16，即半径为8，由此几何体的结构特征知，用勾股定理求球心O到平面ABC的距离即可． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在面积为1的正方形内部随机取一点，则的面积大于等于的概率是_________． 参考答案： 12. 图1是随机抽取的15户居民月均用水量（单位：t）的茎叶图，月均用水量依次记为A1、A2、…A15，图2是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图，那么输出的结果n=　 　． 参考答案： 8 【考点】程序框图． 【分析】算法的功能是计算15户居民在月均用水量中，大于2.1的户数，根据茎叶图可得月均用水量的户数，求出n的值． 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算15户居民在月均用水量中，大于2.1的户数， 由茎叶图得，在15户居民用水中中，大于2.1的户数有8户， ∴输出n的值为8． 故答案为：8． 13. 已知数列{an}为等差数列，其前n项和为，，则      ． 参考答案： 55 ，． 14. 观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此规律，第个等式为          。 参考答案： 15. 若全集，集合，则        . 参考答案： 本题考查集合的运算，难度较小.因为，所以. 16. 已知变量的最大值是          ． 参考答案： 2 17. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，则f（4）=　      　． 参考答案： 【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（4）的值． 【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象，可得==3﹣1，∴ω=， 再根据五点法作图可得ω?1+φ=，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣）， ∴f（4）=sin（3π﹣）=sin（π﹣）=， 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）某单位开展岗前培训.期间，甲、乙2人参加了5次考试，成绩统计如下：   第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩 82 82 79 95 87 乙的成绩 95 75 80 90 85 （Ⅰ）根据有关统计知识，回答问题：若从甲、乙2人中选出1人上岗，你认为选谁合适，请说明理由； （Ⅱ）根据有关概率知识，解答以下问题： ①  从甲、乙2人的成绩中各随机抽取一个，设抽到甲的成绩为，抽到乙的成绩为.用表示满足条件的事件，求事件A的概率； ②  若一次考试两人成绩之差的绝对值不超过3分，则称该次考试两人“水平相当”.由上述5次成绩统计，任意抽查两次考试，求至少有一次考试两人“水平相当”的概率. 参考答案： 解（Ⅰ）派甲合适. -----4分                                                                      （Ⅱ）(1)可以看出基本事件的总数n=25个，而满足条件的事件有（82,80），（82,80）,（79,80），（95,95）（87,85）共5个，          -----8分 （2）考试有5次，任取2次，基本事件共10个：（82,95）和（82,75），（82,95）和（79,80），（82,95）和（95,90），（82,95）和（87,85），（82,75）和（79,80），（82,75）和（95,90），（82,75）和（87,85），（79,80）和（95,90），（79,80）和（87,85），（95,90）和（87,85）其中符合条件的事件共有7个，则5次考试，任取2次，两人“水平相当”为事件B                                                                  ------12分 略 19. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数，）.在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为. （1）求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程； （2）若直线分别交曲线C、曲线E于点A，B，求的面积的最大值. 参考答案： （1）曲线，曲线；（2）. 【分析】 (1)消去参数可得曲线的普通方程；由可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)利用参数方程求出的坐标，再求的面积及其最大值. 【详解】(1)由消去参数，可得曲线的普通方程为. 由，可得，则， 则曲线的直角坐标方程为. （2）设，，其中，则. 要使得面积的最大，则. . ，. 当，即时，面积取最大值. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查坐标系与参数方程的综合应用. 20. （13分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1． （Ⅰ）求∠BCD的大小； （Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积． 参考答案： 考点： 余弦定理的应用． 专题： 解三角形． 分析： （Ⅰ）利用正弦定理求出∠BCD的正弦函数值，然后求出角的大小； （Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可求BD的长，然后求出AC的长，即可求解△ABC的面积． 解答： （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，， 由正弦定理可得，即， 所以．因为∠ACB为钝角，所以． 所以．   …（6分） （Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+DC2﹣2CB?DC?cos∠BCD， 即， 整理得BD=2． 在△ABC中，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA， 即， 整理得．解得． 因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以． 所以△ABC的面积．…．（13分） 点评： 本题考查余弦定理的应用，解三角形，考查基本知识的应用． 21. （本小题满分12分）等比数列的各项均为正数，且 (Ⅰ)求数列的通项公式. (Ⅱ)设 求数列的前n项和. 参考答案： 解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。 由条件可知c>0，故。由得，所以。 故数列{an}的通项式为an=。 （Ⅱ ） 故 所以数列的前n项和为. 22. 如图，四棱台中，底面，平面平面为的中点. （1）证明：； （2）若，且，求点到平面的距离. 参考答案： （1）证明：连接， ∵为四棱台，四边形四边形， ∴，由得，， 又∵底面，∴四边形为直角梯形，可求得， 又为的中点，所以， 又∵平面平面，平面平面， ∴平面平面， ∴； （2）解： 在中，，利用余弦定理可求得，或，由于，所以，从而，知， 又∵底面，则平面底面为交线， ∴平面，所以，由（1）知， ∴平面（连接）， ∴平面平面，过点作，交于点， 则平面， 在中可求得，所以， 所以，点到平面的距离为.