江西省赣州市横江中学高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 2log6+3log6=( )
A.0 B.1 C.6 D.log6
参考答案:
B
【分析】直接利用对数的运算性质化简求值.
【解答】解:2log6+3log6
=
=log62+log63
=log66=1.
故选:B.
2. 在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为( )
:(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
3. 如果一种放射性元素每年的衰减率是8%,那么akg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间t)等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)为t,
,两边取对数,
,即,
∴
故选C.
4. 在△ABC中,若,则△ABC的形状是( )
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)无法确定
参考答案:
B
5. 设集合,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 已知x,y满足约束条件则的最小值为
A. B.1 C. D.2
参考答案:
A
作出可行域知在点处取得最小值
7. 已知( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 不共面的四点可以确定平面的个数为 ( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.无法确定
参考答案:
C
9. 中,,,的对边分别为,重心为点,若,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 已知x,y满足约束条件,若的最小值为6,则的值为( )
A.2 B.4 C. 2和4 D.[2,4]中的任意值
参考答案:
B
x,y满足约束条件的可行域如图:z=x+λy的最小值为6,可知目标函数恒过(6,0)点,由可行域可知目标函数经过A时,目标函数取得最小值。
由解得A(2,1),可得:2+λ=6,解得λ=4.
本题选择B选项.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)=sin(ωx)(ω>0)的图象关于点(,0)对称,且在区间(0,)上单调递增,则ω的最大值为 .
参考答案:
6
【考点】正弦函数的单调性.
【分析】根据题意得出,求出ω的最大值即可.
【解答】解:函数f(x)=sinωx的图象关于点(,0)对称,且在(0,)上单调递增,
∴,
解得;
ω的最大值为6.
故答案为:6.
12. 在△ABC中,AB = 4,AC = 3,,D是AB的中点,则______.
参考答案:
6
13. 在等差数列中,若,,则的值为__________。
参考答案:
-3
略
14. 函数的单调递增区间为 .
参考答案:
(﹣∞,2)
【考点】复合函数的单调性.
【分析】令t=2﹣x>0,求得函数的定义域为(﹣∞,2),则f(x)=g(t)=,本题即求函数t的减区间,利用一次函数的性质得出结论.
【解答】解:令t=2﹣x>0,求得x<2,故函数的定义域为(﹣∞,2),则f(x)=g(t)=,
故本题即求函数t的减区间,而一次函数t在其定义域(﹣∞,2)内单调递减,
故答案为:(﹣∞,2).
15. 过点(3,1)作圆(x﹣2)2+(y﹣2)2=4的弦,其中最短的弦长为 .
参考答案:
2
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】由圆的方程找出圆心与半径,判断得到(3,1)在圆内,过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦,利用垂径定理及勾股定理即可求出.
【解答】解:根据题意得:圆心(2,2),半径r=2,
∵=<2,∴(3,1)在圆内,
∵圆心到此点的距离d=,r=2,
∴最短的弦长为2=2.
故答案为:2
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点与圆的位置关系,垂径定理,以及勾股定理,找出最短弦是解本题的关键.
16. 已知函数,若,则 .
参考答案:
-2
略
17. 设,,,则的大小关系是 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 对于函数,如果存在实数使得,那么称为的生成函数.
(1)下面给出两组函数,是否分别为的生成函数?并说明理由;
第一组:;
第二组:;
(2)设,生成函数.若不等式
在上有解,求实数的取值范围;
(3)设,取,生成函数图像的最低点坐标为. 若对于任意正实数且.试问是否存在最大的常数,使恒成立?如果存在,求出这个的值;如果不存在,请说明理由.
参考答案:
解:(1)①
所以是的生成函数
② 设,即,
则,该方程组无解.所以不是的生成函数.
(2)
若不等式在上有解,
,
即
设,则,,
,故,.
(3)由题意,得,则
,解得,所以
假设存在最大的常数,使恒成立.
于是设
=
令,则,即
设在上单调递减,
,故存在最大的常数
19. 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点,求证:
(1)直线EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
参考答案:
证明:(1)因为E、F分别是AP、AD的中点,∴EF∥PD,
又∵P,D∈面PCD,E,F?面PCD,
∴直线EF∥平面PCD.
(2)∵AB=AD,∠BAD=60°,F是AD的中点,
∴BF⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,
∴BF⊥面PAD,∴平面BEF⊥平面PAD.
略
20. 过点Q 作圆C:x2+y2=r2()的切线,切点为D,且QD=4.
(1)求r的值;
(2)设P是圆C上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆C的切线l,且l交x轴于点A,交y 轴于点B,设,求的最小值(O为坐标原点).
参考答案:
解:(1) 圆C:x2+y2=r2()的圆心为O(0,0),于是
由题设知,是以D为直角顶点的直角三角形,
故有 …………4分
(2) 解法一:
设直线的方程为 即
则
直线与圆C相切
当且仅当时取到“=”号
取得最小值为6。
解法二:
设P(x0,y0)(),则,
且直线l的方程为. ……6分
令y=0,得x=,即,
令x=0,得y=,即.
于是. ……8分
因为, 且,所以 ……9分
所以 …11分
当且仅当时取“=”号.
故当时,取得最小值6. …12分
略
21. (本小题满分14分)
如图1,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为侧棱PC上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.
(1)证明:AD⊥平面PBC;
(2)求三棱锥D-ABC的体积;
(3)在∠ACB的平分线上确定一点Q,使得PQ∥平面ABD,并求此时PQ的长.
参考答案:
(2)
………8分
(3)取AB的中点O,连接CO并延长至Q,使得CQ=2CO,连接PQ,OD,点Q即为所求.
因为O为CQ的中点,D为PC的中点,PQ//OD,
PQ平面ABD, OD平面ABD PQ//平面ABD
连接AQ,BQ, 四边形ACBQ的对角线互相平分,且AC=BC,ACBC,四边形ACBQ为正方形,
CQ即为∠ACB的平分线又AQ=4,PA平面ABC
在直角三角形PAQ中,PQ=…………………14分
略
22. (12分)已知函数f(x)=sinx+acosx的图象经过点(,0)
(1)求实数a的值;
(2)设g(x)=2﹣2,求当x∈(,)时,函数g(x)的值域;
(3)若g()=﹣(<a<),求cos(α+)的值.
参考答案:
考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: (1)把点(,0)代入解析式,求出a的值;
(2)先利用两角差的正弦公式化简f(x),代入g(x)利用二倍角公式化简,由x的范围求出的范围,利用余弦函数的性质求出g(x)的值域;
(3)代入解析式化简g()=﹣,由α的范围和平方关系求出的值,利用两角和的正弦公式求出sinα的值,利用诱导公式化简cos(α+)后即可求值.
解答: (1)因为函数f(x)=sinx+acosx的图象经过点(,0),
所以sin+acos=0,解得a=﹣;
(2)由(1)可得,f(x)=sinx﹣cosx=,
所以g(x)=2﹣2=﹣2
==,
由x∈(,)得,∈(,),
则,所以,
则函数g(x)的值域:=sin()cos+cos()sin
=﹣×()+=,
则cos(α+)=sinα=.
点评: 本题考查三角恒等变换的公式,平方关系、三角函数值的符号的应用,以及余弦函数的性质,注意角之间的关系和角的范围,属于中档题.