广东省湛江市雷州东里第二中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则函数的最小值为( )
A B C D 非上述情况
参考答案:
B
略
2. 已知双曲线的方程为,过左焦点作斜率为的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段,则双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
略
3. 等差数列的前n项和满足,则其公差等于( )
A.2 B.4 C.±2 D.±4
参考答案:
A
4. 今年是我校成立111周年的一年,那么十进制的111化为二进制是( )
A.1 101 101 B.11 011 011 C.1 101 111 D.1 011 100
参考答案:
C
【考点】进位制.
【专题】计算题;转化思想;分析法;算法和程序框图.
【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2,然后将商继续除以2,直到商为0,然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案.
【解答】解:111÷2=55…1
55÷2=27…1
27÷2=13…1
13÷2=6…1
6÷2=3…0
3÷2=1…1
1÷2=0…1
故111(10)=1101111(2)
故选:C.
【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化,其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键.
5. 直线的倾斜角是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
解:直线为,
倾斜角,,
故选.
6. 直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,则直线方程为 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
7. 5个人排成一排,其中甲与乙不相邻,而丙与丁必须相邻,则不同的排法种数为( )
A.72 B.48 C.24 D.60
参考答案:
C
略
8. 已知空间向量=(-1,2,4),=(x,-1,-2),并且∥,则x的值为( )
A.10 B. C. -10 D.-
参考答案:
B
略
9. 已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是( )
A. 一条射线 B. 双曲线 C. 双曲线左支 D. 双曲线右支
参考答案:
A
10. 在一组样本数据的散点图中,若所有样本点都在直线上,则这组样本数据的样本相关系数为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图所示,A,B,C是双曲线﹣=1(a>0,b>0)上的三个点,AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BF⊥AC且|BF|=|CF|,则该双曲线的离心率是 .
参考答案:
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半,求得A的坐标,由对称得B的坐标,由于BF⊥AC且|BF|=|CF|,
求得C的坐标,代入双曲线方程,结合a,b,c的关系和离心率公式,化简整理成离心率e的方程,代入选项即可得到答案.
【解答】解:由题意可得在直角三角形ABF中,
OF为斜边AB上的中线,即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c,
设A(m,n),则m2+n2=c2,
又=1,解得m=,n=,
即有A(,),B(﹣,﹣),
又F(c,0),
由于BF⊥AC且|BF|=|CF|,
可设C(x,y),即有=﹣1,
又(c+)2+()2=(x﹣c)2+y2,
可得x=,y=﹣,
将C(,﹣)代入双曲线方程,化简可得(b2﹣a2)=a3,
由b2=c2﹣a2,e=,得(2e2﹣1)(e2﹣2)2=1,
可得e=.
故答案为:.
【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的a,b,c的关系和离心率的求法,注意运用点在双曲线上满足方程,属于难题.
12. 在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为____.
参考答案:
13. 已知,则 .
参考答案:
考点:两角差的正切公式及运用.
14. 已知命题:“?x∈[1,2],使x2+2x-a≥0”为真命题,则a的取值范围是 .
参考答案:
a≤8
略
15. 命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是__________;
参考答案:
略
16. 已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的取值范围为
参考答案:
大于等于4
略
17. 若x>0,y>0,且log2x+log2y=2,则的最小值为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 确定函数在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。
参考答案:
解析:由,得
令,解不等式得或
因此,当时,函数是增函数
令,解不等式得
因此,当时,函数是减函数
19. (本小题满分13分)某厂用甲、乙两种产品,已知生产1吨A产品,1吨B产品分别需要的甲乙原料数、可获得的利润及该厂现有原料数如表:
产品
所需原料
A产品(t)
B产品(t)
现有原料(t)
甲(t)
2
1
14
乙(t)
1
3
18
利润(万元)
5
3
(1)在现有原料下,A、B产品应各生产多少才能使利润最大?
(2)如果1吨B产品的利润增加到20万元,原来的最优解为何改变?
(3)如果1吨B产品的利润减少1万元,原来的最优解为何改变?
(4)1吨B产品的利润在什么范围,原最优解才不会改变?
参考答案:
解析:(1)设生产A产品x(t),B产品y(t),利润z
0≤2x+y≤14
0≤x+3y≤18
x≥0y≥0
z=5x+3y
可知当过P点()时利润最大:
Zmax=(万元)------------------(3分)
(2)若1tB产品利润增加到25万元
0≤2x+y≤14
0≤x+3y≤18
x≥0
y≥0
z=5x+20y得到y=,此时过Q(0,6)时利润
最大Zmax=120 (万元)----------------(3分)
(3) z=5x+2y得到y=当直线y=过点R(7,0)时
z最大,Zmax=35 (万元)--------------------(3分)
(4)设当B产品的利润为K时原最优解不变
z=5x+ky得到y=
由图知<k<15即B产品的利润在(,15)最优解不变。---(4分)
20. 已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)求在区间[0,1]上的最小值.
参考答案:
解:(1)
令,得,
,随的变化情况如下:
0
∴的单调递减区间是,的单调递增区间;
(2)当,即时,函数在区间上单调递增,
∴在区间上的最小值为;
当,即时,
由(1)知,在区间上单调递减,在区间上单调递增,
∴在区间上的最小值为
当,即时,函数在区间上单调递减,
∴在区间上的最小值为;
综上所述
21. 已知x与y之间的数据如下表:
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)完成下面的残差表:
x
2
3
4
5
6
并判断(1)中线性回归方程的回归效果是否良好(若,则认为回归效果良好).
附:,,,.
参考答案:
解:(1)由已知图表可得,,,,
则,,
故.
(2)∵,∴,,,,,则残差表如下表所示,
∵,
∴,
∴该线性回归方程的回归效果良好.
22. 过椭圆Γ:+=1(a>b>0)右焦点F2的直线交椭圆于A,B两点,F1为其左焦点,已知△AF1B的周长为8,椭圆的离心率为.
(Ⅰ)求椭圆Γ的方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P,Q,且⊥?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(Ⅰ)由题意列关于a,c的方程组,求解方程组的a,c的值,由b2=a2﹣c2求得b的值,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)假设满足条件的圆存在,设出圆的方程,分直线PQ的斜率存在和不存在讨论,当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=kx+t,和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程,利用根与系数关系求出P,Q两点横纵坐标的积,由⊥得其数量积等于0,代入坐标的乘积得到k和t的关系,再由圆心到直线的距离等于半径求出圆的半径,然后验证直线斜率不存在时成立.从而得到满足条件的圆存在.
【解答】解:(Ⅰ)由已知,得,解得:,
∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1.
故椭圆Γ的方程为;
(Ⅱ)假设满足条件的圆存在,其方程为x2+y2=r2(0<r<1).
当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=kx+t,
由,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2﹣4=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
,①
∵,
∴x1x2+y1y2=0,
又y1=kx1+t,y2=kx2+t,
∴x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,
即(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0. ②
将①代入②,得
,
即t2=(1+k2).
∵直线PQ与圆x2+y2=r2相切,
∴r==∈(0,1),
∴存在圆x2+y2=满足条件.
当直线PQ的斜率不存在时,易得=,
代入椭圆Γ的方程,得=,满足.
综上所述,存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线和圆锥曲线的关系,体现了分类讨论的数学思想方法,涉及直线和圆锥曲线的关系问题,常采用把直线和圆锥曲线联立,利用根与系数的关系求解,考查了计算能力,属高考试卷中的压轴题.