湖北省武汉市蔡甸区第五高级中学校(高中部)高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. “在内”是“在内单调递增”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
参考答案:
A
∵在内,则在内单调递增,
反过来,若在内单调递增,则,
∴“在内”是“在内单调递增”的充分不必要条件.
故选.
2. 把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向左平移个单位,这时对应于这个图象的解析式为( )
A.y=cos2x
B.y=﹣sin2x
C.
D.
参考答案:
A
考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题:计算题.
分析:根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象周期变换法则,我们可得到把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,对应图象的解析式,再根据函数图象的平移变换法则,可得到再把图象向左平移个单位,这时对应于这个图象的解析式.
解答: 解:函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,可以得到函数y=sin2x的图象
再把图象向左平移个单位,以得到函数y=sin2(x+)=cos2x的图象
故选A
点评:本题考查的知识点是函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,其中熟练掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象的平移变换、周期变换、振幅变换法则是解答本题的关键.
3. 下列说法正确的是( )
A.命题“x>0,sinx≤x”的否定是“x≤0,sinx>x”.
B.命题“若x≠y,则sinx≠siny”的逆否命题是真命题.
C.两平行线2x+2y-1=0与2x+2y-3=0之间的距离为.
D.直线l1:ax+y+1=0,l2: x+ay-2=0,l1⊥l2的充要条件是a=±1.
参考答案:
C
对于A,.命题“”的否定应该是“”;对于B,逆否命题的真假性与原命题一致,300≠1500.但sin300=sin1500;对于C,可利用两平行线间距离公式计算,得出C是正确的;对于D,.
4. PM2.5是空气质量的一个重要指标,我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级,在35μg/m3~75μg/m3之间空气质量为二级,在75μg/m3以上空气质量为超标.如图是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值(单位:μg/m3)的统计数据,则下列叙述不正确的是( )
A. 这10天中,12月5日的空气质量超标
B. 这10天中有5天空气质量为二级
C. 从5日到10日,PM2.5日均值逐渐降低
D. 这10天的PM2.5日均值的中位数是47
参考答案:
C
【分析】
先对图表信息进行分析,再由频率分布折线图逐一检验即可得解.
【详解】解:由图表可知,选项A,B,D正确,
对于选项C,由于10日的PM2.5日均值大于9日的PM2.5日均值,
故C错误,
故选:C.
【点睛】本题考查了频率分布折线图,考查数据处理和分析能力,属于基础题.
5. 若函数的图象如图所示,是函数的导函数,且是奇函数,则下列结论中错误的是 ( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
B
6. 函数f(x)=lnx﹣的零点所在的区间是( )
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,+∞)
参考答案:
B
【考点】函数零点的判定定理.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据函数零点的判断条件,即可得到结论.
【解答】解:∵f(x)=lnx﹣,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∵f(2)=ln2﹣1<0,f(3)=ln3﹣>0,
∴f(2)f(3)<0,
在区间(2,3)内函数f(x)存在零点,
故选:B
【点评】本题主要考查方程根的存在性,利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键.
7. 已知函数,为的导函数,那么( )
A. 将的图象向左平移个单位可以得到的图象
B. 将的图象向右平移个单位可以得到的图象
C. 将的图象向左平移个单位可以得到的图象
D. 将的图象向右平移个单位可以得到的图象
参考答案:
A
8. 某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的k值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
参考答案:
C
【考点】程序框图.
【专题】算法和程序框图.
【分析】执行程序框图,写出每次循环得到的S,k的值,当S=126,K=7时不满足条件S<100,输出K的值为7.
【解答】解:执行程序框图,有
k=1,S=0
满足条件S<100,S=2,K=2;
满足条件S<100,S=6,K=3;
满足条件S<100,S=14,K=4;
满足条件S<100,S=30,K=5;
满足条件S<100,S=62,K=6;
满足条件S<100,S=126,K=7;
不满足条件S<100,输出K的值为7.
故选:C.
【点评】本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题.
9. 已知双曲线c:=1(a>b>0),以右焦点F为圆心,|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N(异于原点O),若|MN|=2a,则双曲线C的离心率是( )
A. B. C.2 D.
参考答案:
C
考点:双曲线的简单性质.
专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:连接NF,设MN交x轴于点B,根据双曲线渐近线方程结合图形的对称性,求出N(,),再由|NF|=c在Rt△BNF中利用勾股定理建立关于a、b、c的关系式,化简整理可得c=2a,由此即可得到该双曲线的离心率.
解答: 解:连接NF,设MN交x轴于点B
∵⊙F中,M、N关于OF对称,
∴∠NBF=90°且|BN|=|MN|==,
设N(m,),可得=,得m=
Rt△BNF中,|BF|=c﹣m=
∴由|BF|2+|BN|2=|NF|2,得()2+()2=c2
化简整理,得b=c,可得a=,故双曲线C的离心率e==2
故选:C
点评:本题给出以双曲线右焦点F为圆心的圆过坐标原点,在已知圆F被两条渐近线截得弦长的情况下求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识,属于基础题.
10. 已知命题p:,;命题q:,,则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
,,故为假命题,为真命题.因为,,所以命题:,为假命题,所以为真命题,则为真命题,故选A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数,若时,恒成立,
则实数m的取值范围是
参考答案:
(-∞,1)
略
12. 在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=1,点E是AB的中点,点D满足,则= .
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的运算法则,求得要求式子的值.
【解答】解:Rt△ABC中,∵∠A=90°,AB=AC=1,点E是AB的中点,点D满足,
∴=?(﹣)=?[+]=?(+)
===,
故答案为:.
13. 若函数满足,有以下命题:
①函数可以为一次函数;
②函数的最小正周期一定为6;
③若函数为奇函数且,则在区间上至少有11个零点;
④若且,则当且仅当时,函数满足已知条件.其中错误的是
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
参考答案:
D
略
14. 已知抛物线C:y2=4x,点M(﹣1,1),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则实数k的值为 .
参考答案:
2
考点:平面向量数量积的运算.
专题:向量与圆锥曲线.
分析:由已知可求过A,B两点的直线方程为y=k(x﹣1),然后联立可得,k2x2﹣2(2+k2)x+k2=0,可表示x1+x2,x1x2,y1+y2,y1y2,由,代入整理可求k.
解答: 解:∵抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),
∴过A,B两点的直线方程为y=k(x﹣1),
联立可得,k2x2﹣2(2+k2)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则,
∴y1+y2=k(x1+x2﹣2)=,y1y2=k2(x1﹣1)(x2﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2)+1]=﹣4,
∵M(﹣1,1),
∴=(x1+1,y1﹣1),=(x2+1,y2﹣1),
∵,
∴(x1+1)(x2+1)+(y1﹣1)(y2﹣1)=0,
整理可得,x1x2+(x1+x2)+y1y2﹣(y1+y2)+2=0,
∴1=0,
即k2﹣4k+4=0,
∴k=2.
故答案为:2.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用,解题的难点是本题具有较大的计算量.
15. 设,若,,则的最大值为 ;
参考答案:
4
略
16. 的展开式中的常数项是 (用数字作答)
参考答案:
答案:-20
17. 已知△ABC的外接圆圆心为O,,,若(t为实数)有最小值,则参数t的取值范围是 .
参考答案:
由已知得:
原式有最小值;
所以
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图1,在△ABC中,AC=2,∠ACB=90°,∠ABC=30°,P是AB边的中点,现把△ACP沿CP折成如图2所示的三棱锥A﹣BCP,使得.
(1)求证:平面ACP⊥平面BCP;
(2)求平面ABC与平面ABP夹角的余弦值.
参考答案:
【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.
【分析】(1)在图1中,取CP的中点O,连接AO交CB于E,得AO⊥CP,在△OCB中,有AO⊥OB,即AO⊥平面PCB,
可证平面ACP⊥平面CPB.
(2)因为AO⊥平面CPB,且OC⊥OE,故可如图建立空间直角坐标系,则,
求出平面的法向量,利用向量夹角公式即可求解.
【解答】解:(1)证明:在图1中,取CP的中点O,连接AO交CB于E,则AE⊥CP,
在图2中,取CP的中点O,连接AO,OB,因为AC=AP=CP=2,
所以AO⊥CP,且,…
在△OCB中,由余弦定理有,…
所以AO2+OB2=10=AB2,所以AO⊥OB.…
又AO⊥CP,CP∩OB=O,所以AO⊥平面PCB,
又AO?平面ACP,所以平面ACP⊥平面CPB…
(2)因为AO⊥平面CPB,且OC⊥OE,故可如图建立空间直角坐标系,则,
,…
设平面ABC的法向量为=(x,y,z),
则由得;…
同理可求得平面ABP的法向量为,…
故所求角的余弦值.…
19. 已知对任意,都有 (为常数)并且当时,
⑴ 求证:是R上的减函数;
⑵ 若, 解关于m的不等式。
参考答案:
2)
由
得