河南省信阳市高级中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合A到集合B的映射f:(x,y)→(x+2y,2x﹣y),在映射f下对应集合B中元素(3,1)的A中元素为( )
A.(1,3) B.(1,1) C.(3,1) D.(5,5)
参考答案:
B
【考点】映射.
【分析】由题意和映射的定义得,解此方程即可得出B中的元素元素(3,1)的A中元素.
【解答】解:由题意,得,
解得x=1,y=1,
则B中的元素(3,1)的A中元素 (1,1).
故选B.
2. 设函数若是奇函数,则的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 设M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方形},则这些集合之间的关系为
A. B.
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参考答案:
B
4. 函数f(x)=loga,在(-1,0)上有f(x)>0,那么 ( )
A.f(x)在(- ,0)上是增函数 B.f(x)在(-,0)上是减函数
C.f(x)在(-,-1)上是增函数 D.f(x)在(-,-1)上是减函数
参考答案:
C
略
5. 已知向量=(1,2),=(x,﹣4),若∥,则?等于( )
A.﹣10 B.﹣6 C.0 D.6
参考答案:
A
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】根据∥,可得﹣4﹣2x=0,解得x=﹣2,则?=x﹣8,运算求得结果.
【解答】解:∵向量=(1,2),=(x,﹣4),∥,∴﹣4﹣2x=0,∴x=﹣2.
则?=x﹣8=﹣2﹣8=﹣10,
故选 A.
6. 为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:
则,对x的线性回归方程为( )
A. y=x-l B. y=x+l
C. . D. y=176
参考答案:
C
7. 两平行线3x﹣4y﹣12=0与6x+ay+16=0间的距离是( )
A. B.4 C. D.
参考答案:
B
【考点】两条平行直线间的距离.
【专题】计算题;规律型;函数思想;直线与圆.
【分析】求出a,利用平行线之间的距离公式求解即可.
【解答】解:两平行线3x﹣4y﹣12=0与6x+ay+16=0,可得a=8,
平行线之间的距离为: =4.
故选:B.
【点评】本题考查平行线的求法,平行线之间的距离的求法,是基础题.
8. 公比为2的等比数列的各项都是正数,且,则( )
A.1 B.2 C.4 D.8
参考答案:
A
9. (5分)在某实验中,测得变量x和变量y之间对应数据,如表
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
﹣1.01
0.01
0.98
2.00
则x、y最合适的函数是()
A. y=2x B. y=x2﹣1 C. y=2x﹣2 D. y=log2x
参考答案:
D
考点: 对数函数、指数函数与幂函数的增长差异.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 根据所给数据,代入各函数,计算验证可得结论.
解答: 根据x=0.50,y=﹣0.99,代入计算,可以排除A;
根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B、C;
将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意
故选D.
点评: 本题考查了函数关系式的确定,考查学生的计算能力,属于基础题.
10. 数列的前n项和与通项公式满足关系式 ,则 ( )
A.-90 B.-180 C.-360 D.-400
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为2,底面边长为2,则该球的表面积为 .
参考答案:
9π
【考点】LG:球的体积和表面积.
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PE上,求出球的半径,求出球的表面积.
【解答】解:如图,正四棱锥P﹣ABCD中,PE为正四棱锥的高,根据球的相关知识可知,正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上,延长PE交球面于一点F,连接AE,AF,由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF,根据平面几何中的射影定理可得PA2=PF?PE,因为AE=,
所以侧棱长PA==,PF=2R,
所以6=2R×2,所以R=,
所以S=4πR2=9π.
故答案为:9π.
12. 若sinθ=,<θ<3π,那么sin= .
参考答案:
﹣
【考点】半角的三角函数.
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosθ的值,再利用半角公式求得=﹣的值.
【解答】解:若,∴∈(,),cosθ=﹣=﹣,
那么=﹣=﹣,
故答案为:﹣.
13. (5分)计算:sin210°的值为 .
参考答案:
﹣
考点: 诱导公式的作用.
专题: 计算题.
分析: 利用诱导公式可得sin210°=sin(180°+30°)=﹣sin30°,由此求得结果.
解答: sin210°=sin(180°+30°)=﹣sin30°=﹣,
故答案为﹣.
点评: 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于基础题.
14. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中,众数和中位数分别
参考答案:
31,26
15. (5分)已知函数f(x+1)是偶函数,且当x≥1时,f(x)=,若实数a满足f(2a)>f(a+1),则a的取值范围是 .
参考答案:
考点: 函数奇偶性的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 先根据y=f(x+1)是偶函数判断出函数f(x)关于直线x=1对称,然后再判断函数f(x)在[1,+∞)上的单调性,再结合对称性即可得到关于a的不等式,解之即可.
解答: 因为y=f(x+1)是偶函数,所以函数f(x)关于直线x=1对称,
当1≤x≤2时,f(x)=﹣(x﹣1)2+1,在[1,2]上是减函数,且f(2)=0;
当x>2时,f(x)=﹣ln(x﹣1)也是减函数,且当x→2时,f(x)→0,
故函数在[1,+∞)上为减函数,结合函数的奇偶性可知,f(x)在(﹣∞,1]上增函数,且关于x=1对称,
所以由f(2a)>f(a+1)可得,|2a﹣1|<|a+1﹣1|,即|2a﹣1|<|a|,
即3a2﹣4a+1<0,解得().
故答案为:.
点评: 本题考查了分段函数条件下的不等式问题,因为涉及到函数的奇偶性,因此应研究函数的单调性构造关于a的不等式.
16. 已知,则tanx= .
参考答案:
﹣
【考点】同角三角函数间的基本关系.
【分析】已知等式两边平方,利用同角三角函数间的基本关系化简,根据x的范围确定出sinx大于0,cosx小于0,即sinx﹣cosx大于0,利用完全平方公式得到(sinx﹣cosx)2=1﹣2sinxcosx,开方求出sinx﹣cosx的值,与已知等式联立求出sinx与cosx的值,即可确定出tanx的值.
【解答】解:将sinx+cosx=①两边平方得:(sinx+cosx)2=,即1+2sinxcosx=,
∴2sinxcosx=﹣<0,
∵x∈(0,π),∴x∈(,π),
∴cosx<0,sinx>0,即sinx﹣cosx>0,
∴(sinx﹣cosx)2=1﹣2sinxcosx=,即sinx﹣cosx=②,
联立①②得:sinx=,cosx=﹣,
则tanx==﹣.
故答案为:﹣
17. 设正项数列{an}的前n项和是Sn,若{an}和{}都是等差数列,且公差相等,则a1= .
参考答案:
【考点】等差数列的性质.
【分析】设公差为d,首项a1,利用等差中项的概念列关系,通过两次平方运算及可求得答案.
【解答】设公差为d,首项a1
∵{an},{}都是等差数列,且公差相等,
∴2=+,
即2=+,
两端平方得:4(2a1+d)=a1+3a1+3d+2,
4a1+d=2,
两端再平方得:16+8a1d+d2=4a1(3a1+3d),
∴4﹣4a1d+d2=0,
d=2a1,又两数列公差相等,
∴﹣=a2﹣a1=d=2a1,
即﹣=2a1,
解得:
2=1,
∴a1=或a1=0({an}为正项数列,故舍)
∴a1=.
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (10分)解方程:.
参考答案:
解析:设 ,得,(5分)(不合题意,舍去),
得,(10分)
19. (14分)如图,在棱长为a的正方体A1B1C1D1﹣ABCD中,
(1)证明B1D⊥面A1BC1;
(2)求点B1到面A1BC1的距离.
参考答案:
考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定.
专题: 计算题;空间位置关系与距离.
分析: (1)由A1C1⊥面DBB1D1,知A1C1⊥B1D.由A1B⊥面ADC1B1,知A1B⊥B1D,所以B1D⊥面A1BC1.
(2)在三棱锥B1﹣BA1C1中有=,即可求出点B1到面A1BC1的距离.
解答: (1)证明:连接B1D1,
∵A1B1C1D1是正方形,
∴A1C1⊥B1D1,
∵A1C1⊥DD1,B1D1∩DD1=D1,
∴A1C1⊥面DBB1D1,
∴A1C1⊥B1D.
同理A1B⊥面ADC1B1,
∴A1B⊥B1D,
∵A1C1∩A1B=A1,
∴B1D⊥面A1BC1.
(2)∵设点B1到面A1BC1的距离为h,在三棱锥B1﹣BA1C1中有=,
∴,
∴h=a.
点评: 本题考查空间中点、线、面间的距离,证明直线和平面垂直,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.
20. 记 min{p,q}=,若函数f(x)=min{3+logx,log2x}.
(Ⅰ)用分段函数形式写出函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求不等式f(x)<2的解集.
参考答案:
【考点】分段函数的应用.
【分析】(Ⅰ)对新定义的理解要到位,先求出x的范围,即可得到函数的解析式,
(Ⅱ)根据分段函数即可求出不等式的解集
【解答】解:(Ⅰ)由3+logx≤log2x
即3﹣log2x≤log2x,
即log2x≥=log2,
∴x≥,
∴f(x)=;
(Ⅱ)∵不等式f(x)<2,
∴,或
解得x>4或0<x<
故不等式f(x)<2的解集为(0,)∪(4,+∞).
21. (本小题12分)直线l经过点P(2,-5),且到点A(3,-2)和B(-1,6)的距离之比为1∶2,求直线l的方程.
参考答案:
22. (本小题满分8分)已知,计算:
(I);
(Ⅱ)。
参考答案: