江苏省常州市同济中学2022年高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设a, b为向量, 则“”是“a//b”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
参考答案:
A
2.
等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,且,则使得为整数的正整数n的个数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
答案:B
3. 已知集合A={x|﹣1≤x≤1),集合B={x|x2﹣2x≤0),则集合A∩B=( )
A.[﹣1,0] B.[﹣1,2] C.[0,1] D.(一∞,1]∪[2,+∞)
参考答案:
C
【考点】交集及其运算.
【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.
【分析】求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.
【解答】解:由B中不等式变形得:x(x﹣2)≤0,
解得:0≤x≤2,即B=[0,2],
∵A=[﹣1,1],
∴A∩B=[0,1],
故选:C.
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
4. .已知是等差数列,,则的公差 ( )
A.- B.- C.- D.-
参考答案:
C
略
5. 已知满足约束条件,设表示的平面区域为,在区域内任
取一点 ,则此点到直线的距离大于的概率为( )
(A) (B) (C) ( D)
参考答案:
B
略
6. 函数的单调增区间为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
7. 若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
8. 函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f ′(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为( )
A.{x|x>0} B.{x|x<0} C.{x|x<-1,或x>1} D.{x|x<-1,或00且。
若=1则=-1,
若=2则=-1,1
若=3则=-1,1;
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为。
(2)由(1)知当且仅当且>0时,函数上为增函数,依条件可知试验的全部结果所构成的区域为,
构成所求事件的区域为三角形部分。
由
∴所求事件的概率为。
19. (12分)已知数列满足:,,,且数列为等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)求和.
参考答案:
解:(1)等差数列的首项为,
公差 ∴
即,∴.
(2)∵.
∴
.
略
20. 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,φ∈[0,]),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的圆心C的极坐标为(2,),半径为2,直线l与圆C相交于M,N两点.
(I)求圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)求当φ变化时,弦长|MN|的取值范围.
参考答案:
【考点】QH:参数方程化成普通方程;Q4:简单曲线的极坐标方程.
【分析】(I)由圆C的圆心C的极坐标为(2,),即,半径为2,可得圆的标准方程为: =4,展开 利用互化公式即可化为极坐标方程.
(II)把直线l的参数方程代入圆C的方程可得:t2+2tcosφ﹣3=0,利用根与系数的关系可得:|MN|=|t1﹣t2|=,再利用三角函数的单调性与值域即可得出.
【解答】解:(I)由圆C的圆心C的极坐标为(2,),即,半径为2,可得圆的标准方程为: =4,
展开可得:x2+y2﹣2x﹣2y=0,化为极坐标方程:ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0,即ρ=2cosθ+2sinθ=4cos.
(II)把直线l的参数方程代入圆C的方程可得:t2+2tcosφ﹣3=0,
∴t1+t2=﹣2cosφ,t1t2=﹣3.
∴|MN|=|t1﹣t2|==2,
∵φ∈[0,],∴cosφ∈,cos2φ∈.
∴|MN|∈.
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系、三角函数的单调性与值域,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
21. (本小题满分12分)
如图,是直角斜边上一点,,记,.
(1)证明:;
(2)若,求.
参考答案:
解: (1)证明:,, …………………1分
, …………………3分
…………………5分
(2)解:在中,
, ………………………6分
. ………………………8分
,, ………………………10分
. …………12分
略
22. (本题12分)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段,…后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(Ⅰ)求分数在内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(Ⅱ)用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本,将该样本看成一个总体,从中任取人,求至多有人在分数段的概率.
参考答案:
(Ⅰ)分数在内的频率为:
,
故,如图所示:
(Ⅱ)由题意,分数段的人数为:人;
分数段的人数为:人;
∵在的学生中抽取一个容量为的样本,∴分数段抽取2人,分别记为;分数段抽取4人,分别记为;
设从样本中任取人,至多有1人在分数段为事件,
则基本事件空间包含的基本事件有:
、、、、、……、共15种,
则事件包含的基本事件有:、、、、
、、、、共9种, ks5uks5u
∴.