河南省商丘市虞城县第二高级中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中,角A、B的对边分别为a、b,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( )
A. ,, B. ,,
C. ,, D. ,,
参考答案:
D
【分析】
四个选项角度均为锐角,则分别比较和之间、与之间的大小关系,从而得到三角形解的个数.
【详解】选项:,又 三角形有一个解,则错误;
选项: 三角形无解,则错误;
选项: 三角形有一个解,则错误;
选项:,又 三角形有两个解,则正确
本题正确选项:D
【点睛】本题考查三角形解的个数的求解,关键是能够熟练掌握作圆法,通过与、与之间大小关系的比较得到结果.
2. 单调增区间为( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
B
试题分析:因为,所以只要求的减区间,由,解得 ,故选择B.
考点:三角函数的性质.
3. 函数的定义域为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 已知向量,,且,则的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 在下列区间中,函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 设a∈,则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是( )
A.1,3 B.﹣1,1 C.﹣1,3 D.﹣1,1,3
参考答案:
A
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域;函数奇偶性的判断.
【专题】计算题.
【分析】分别验证a=﹣1,1,,3知当a=1或a=3时,函数y=xa的定义域是R且为奇函数.
解:当a=﹣1时,y=x﹣1的定义域是x|x≠0,且为奇函数;
当a=1时,函数y=x的定义域是R且为奇函数;
当a=时,函数y=的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数.
当a=3时,函数y=x的定义域是R且为奇函数.
故选A.
【点评】本题考查幂函数的性质和应用,解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质.
7. 设A={x|﹣1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠?,则a的取值范围是( )
A.a<2 B.a>﹣2 C.a>﹣1 D.﹣1<a≤2
参考答案:
C
【考点】集合关系中的参数取值问题.
【分析】A={x|﹣1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠?,两个集合有公共元素,得到两个集合中所包含的元素有公共的元素,得到a与﹣1的关系.
【解答】解:∵A={x|﹣1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠?,
∴两个集合有公共元素,
∴a要在﹣1的右边,
∴a>﹣1,
故选C.
8. 已知向量,,若,则( )
A.(-1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(1,-2)
参考答案:
A
9. 已知2a=5b=m且=2,则m的值是( )
A.100 B.10 C. D.
参考答案:
C
【考点】对数的运算性质.
【分析】由已知得m>0,且a=log2m,b=log5m,从而=logm10=2,由此能示出m的值.
【解答】解:∵2a=5b=m,
∴m>0,且a=log2m,b=log5m,
∵=2,
∴=logm10=2,
∴m2=10,解得m=,或m=﹣(舍).
∴m的值为.
故选:C.
10. cos510°的值为( )
A. B.﹣ C.﹣ D.
参考答案:
C
【考点】运用诱导公式化简求值.
【专题】三角函数的求值.
【分析】直接利用诱导公式化简求值即可.
【解答】解:cos510°=cos(360°+150°)=cos150°=﹣cos30°=.
故选:C.
【点评】本题考查诱导公式的应用,三角函数的化简求值,基本知识的考查.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量 则 与 的夹角为 。
参考答案:
解析:为利用向量坐标公式设 ,且 与 的夹角为
则 ∴由题设得
注意到 , 故得:
12. 设函数在R上是减函数,则的
范围是 .
参考答案:
13. 已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____.
参考答案:
2
略
14. 有下列五个命题:
① 函数的图像一定过定点;
② 函数的定义域是,则函数的定义域为;
③ 已知=,且,则;
④ 已知且,则实数;
⑤ 函数的单调递增区间为.
其中正确命题的序号是__________.(写出所有正确命题的序号)
参考答案:
①④
略
15. 已知是第二象限的角,且,则的值等于____________.
参考答案:
16. 在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若,其中,则m + n =__________
参考答案:
17. 已知,则=
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)在△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,若cosBcosC—sinBsinC=.
(1)求A.
(2)若a=2 ,b+c=4, 求ABC的面积.
参考答案:
解:⑴由题意得:cos(B+C)= ---------------------------------------2分
所以cosA=,即A=120° -----------------------------------------------4分
⑵由余弦定理得:12
化简得bc=4 --------------------------------------------------------------9分
所以 ---------------------------------12分
略
19. 已知f(α)=,
(1)化简f(α)
(2)若cosα=,求f(α)的值.
参考答案:
【考点】GO:运用诱导公式化简求值.
【分析】(1)根据诱导公式化简可得答案.
(2)由cosα=,利用同角三角函数间的关系式可求解.
【解答】解:(1)由f(α)=,
==2sinα.
(2)∵cosα=,
∴当α在第一象限时,sinα==.
∴f(α)=2sinα=1;
∴当α在第四象限时,sinα=﹣=﹣.
∴f(α)=2sinα=﹣1.
20. (本题满分12分)已知:函数=的定义域为A,集合B=,
(1)求函数的定义域A;
(2)若AB=A,求的取值范围。
参考答案:
(1)由
其定义域A=; …………… 6分
(2)B==
的取值范围为. ……………12分
21. 定义在[﹣1,1]上的函数y=f(x)是增函数,且是奇函数,若f(a﹣1)+f(4a﹣5)>0,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】根据条件f(x)为奇函数,且在[﹣1,1]上为增函数,便可由f(a﹣1)+f(4a﹣5)>0得到f(a﹣1)>f(5﹣4a),进一步得到,这样解该不等式组便可得出实数a的取值范围.
【解答】解:f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数;
∴由f(a﹣1)+f(4a﹣5)>0得,f(a﹣1)>f(5﹣4a);
又f(x)在[﹣1,1]上为增函数;
∴;
解得;
∴实数a的取值范围是.
【点评】考查奇函数的定义,增函数的定义,以及根据增函数的定义解不等式,注意要使a﹣1,5﹣4a在定义域[﹣1,1]内.
22. 如图,在梯形ABCD中,,,,
(Ⅰ)若,求实数的值;
(Ⅱ)若,求数量积的值
参考答案:
(Ⅰ)(Ⅱ)
【分析】
(Ⅰ)根据平面向量基本定理求解,(Ⅱ)根据向量数量积定义求解
【详解】(Ⅰ)因为,所以,,
因此,
(Ⅱ)
【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量数量积,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.