河南省濮阳市成龙中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数(其中)的图象如图1所示,为了得到的图象,则只需将的图象( )
A.向右平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位
参考答案:
A
2. 已知是虚数单位,则= ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 下图给出的是计算的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
4. (2009江西卷文)函数的最小正周期为
A. B. C. D.
参考答案:
A
解析:由可得最小正周期为,故选A.
5. 在等比数列中,若,与的等比中项为,则的最小值为 ( )
A.4 B. C.8 D.16
参考答案:
C
6. 已知,,,则下列不等关系正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
,,故,选D.
7. 设双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点,,原点到直线的距离为,则渐近线的斜率为
(A)或(B)或(C)1或(D)或
参考答案:
D
略
8. 定义集合A、B的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,其中x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A*B中所有元素之和为( )
A.9 B.14 C.18 D.21
参考答案:
B
9. 已知集合,,如果,则等于 ( )
A. B. C.或 D.
参考答案:
C
10. 正六棱柱的底面边长为4,高为6,则它的外接球的表面积为
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 运行右图的程序框图,设输出数据构成的集合为A,则集合A中元
素的个数为_______.
参考答案:
5
12. 设函数其中若存在唯一的整数使得,则的取值范围是
参考答案:
13. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为 。
参考答案:
14. 设平面上的动点P(1,y)的纵坐标y 等可能地取用ξ表示点P到坐标原点的距离,则随机变量ξ的数学期望Eξ= .
参考答案:
由题意,随机变量ξ的的值分别为3,2,1,则随机变量ξ的分布列为:
ξ
1
2
3
P
所以随机变量ξ的数学期望Eξ= .
点睛:数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念,反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时,首先要分清事件的构成与性质,确定离散型随机变量的所有取值,然后根据概率类型选择公式,计算每个变量取每个值的概率,列出对应的分布列,最后求出数学期望.
15. 在各项均为正数的等比数列中,,则的值是 ▲ .
参考答案:
16. (文)已知a,b为常数,若,,
则______.
参考答案:
(文)2、
17. 的展开式中第4项的值是-40,则 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转,由于业务量扩大,现向社会招聘货车司机,其日工资方案如下:甲公司,底薪80元,司机毎中转一车货物另计4元:乙公司无底薪,中转40车货物以内(含40车)的部分司机每车计6元,超出40车的部分司机每车计7元.假设同一物流公司的司机一填中转车数相同,现从这两家公司各随机选取一名货车司机,并分别记录其50天的中转车数,得到如下频数表:
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
10
15
10
10
5
乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
5
10
10
20
5
(1)现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数,求这3天中转车数都不小于40的概率;
(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题:
①记乙公司货车司机日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期望E(X);
②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由.
参考答案:
(1);(2)①见解析,②若从日工资的角度考虑,小王应该选择乙公司
【分析】
(1)根据古典概型概率公式以及组合数求结果,(2)①先确定随机变量,再分别求对应概率,最后根据数学期望公式得期望,②先求甲公司日工资数学期望,再与①期望比较大小即得结果
【详解】(1)设“这三天中转车数都不小于40”的事件为A,则P(A)==.
(2)①设乙公司货车司机中转货车数为t,则X=,
则X的所有取值分别为228,234,240,247,254,其分布列为:
日工资
228
234
240
247
254
概率P
∴E(X)=228×+234×+240×+247×+254×=241.8.
②设甲公司货车司机日工资为Y,日中转车数为μ,则Y=4μ+80,
则Y的所有可能取值为232,236,240,244,248,则分布列为:
日工资
232
236
240
244
248
概率P
E(Y)=+248×=238.8.
由E(X)>E(Y),知:若从日工资的角度考虑,小王应该选择乙公司.
【点睛】本题考查古典概型概率公式以及分布列和数学期望,考查基本分析求解能力,属中档题.
19. [选修4-2:矩阵及变换]
已知矩阵,,若矩阵M=BA,求矩阵M的逆矩阵.
参考答案:
因为,
所以.
20. 过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于两点,且.
(1)求的方程;
(2)若关于轴的对称点为,求证:直线恒过定点并求出该点的坐标.
参考答案:
(1)的坐标为,设的方程为代入抛物线得
,
由题意知,且,
设,,∴,,
由抛物线的定义知,
∴,∴,即,∴直线的方程为.
直线的斜率为,
∴直线的方程为,
即,
∵,,∴,
即(因为异号),
∴的方程为,恒过.
21. 已知f(x)=|x﹣3|+|x+1|,g(x)=|x+1|﹣|x+a|﹣a.
(1)解不等式f(x)≥6;
(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】R5:绝对值不等式的解法;R4:绝对值三角不等式.
【分析】(1)通过讨论x的范围,求出各个区间上的x的范围,取并集即可;(2)根据绝对值的性质得到关于a的不等式,解出即可.
【解答】解:(1),
当x≥3时,2x﹣2≥6解得x≥4,
当﹣1<x<3时,4≥6无解,
当x≤﹣1时,﹣2x+2≥6解得x≤﹣2.
∴f(x)≥6的解集为{x|x≤﹣2或x≥4}.
(2)由已知|x﹣3|+|x+1|≥|x+1|﹣|x+a|﹣a恒成立,
∴|x﹣3|+|x+a|≥﹣a恒成立,
又|x﹣3|+|x+a|≥|x﹣3﹣x﹣a|=|﹣3﹣a|=|a+3|,
∴|a+3|≥﹣a,
解得,
∴时,不等式f(x)≥g(x)恒成立.
22. (本小题满分12分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,∠CBD=60°,BC=2.
(Ⅰ)求证:平面ABC⊥平面ACD;
(Ⅱ)若E是BD的中点,F为线段AC上的动点,EF与平面ABC所成的角记为θ,当tanθ的最大值为,求二面角A﹣CD﹣B的余弦值.
参考答案:
证明:(Ⅰ)在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥平面BCD,
所以:AB⊥CD,又∵BC⊥CD,∴CD⊥平面ABC,
∵CD?平面ACD,∴平面ABC⊥平面ACD
………………………………6分
(Ⅱ)建立空间直角坐标系C﹣xyz,
则:C(0,0,0),D(,0,0),B(0,2,0),E(,1,0),
设A(0,2,t),
则:
所以:F(0,2λ,tλ),,
平面ABC的法向量为:,
由sinθ=由于tanθ的最大值为,
则:(t2+4)﹣4λ+4的最小值为.
解得:t=4,又∵BC⊥CD,AC⊥CD,
所以∠ACB就是二面角A﹣CD﹣B的平面角.cos∠ACB==.
………………………………12分