湖北省十堰市十六中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,实数、满足关系式,若对于任意给定的,当在上变化时,的最小值为,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
先计算出,然后利用基本不等式可得出的值.
【详解】,
由基本不等式得,
当且仅当时,由于,即当时,等号成立,
因此,,故选:A.
【点睛】本题考查极限的计算,考查利用基本不等式求最值,解题的关键就是利用数列的极限计算出带的表达式,并利用基本不等式进行计算,考查运算求解能力,属于中等题.
2. 如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1,M,N分别为A1D1和AA1的中点,则下列说法中正确的个数为( )
①C1M∥AC;②BD1⊥AC;③BC1与AC的所成角为60°;④B1A1、C1M、BN三条直线交于一点.
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】根据平行的定义,可判断①;先证明AC⊥平面BDD1,可判断②;根据△A1BC1为等边三角形,可判断③;根据公理3判断出三线共点,可判断④
【解答】解:∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1,M,N分别为A1D1和AA1的中点,
∴A1C1∥AC,C1M与A1C1相交,故①错误;
BD⊥AC,DD1⊥AC,故AC⊥平面BDD1,故BD1⊥AC,故②正确;、
连接BA1,则△A1BC1为等边三角形,即BC1与A1C1的所成角为60°;
由①中A1C1∥AC,可得BC1与AC的所成角为60°,故③正确;
④由MN∥AD1∥BC1,可得C1M、BN共面,
则C1M、BN必交于一点,
且该交点,必在B1A1上,
故B1A1、C1M、BN三条直线交于一点,故④正确;
故选:C
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了空间直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系等知识点,难度中档.
3. 若a<b<0,则( )
A. B. C.ab>b2 D.
参考答案:
C
【考点】不等式的基本性质.
【分析】用不等式的性质和特殊值法可依次验证每个选项
【解答】解:对于A:当a=﹣2,b=﹣1时,显然不成立,∴A错误
对于B:∵a<b<0,∴|a|>|b|>0∴,∴B错误
对于C:由已知条件知a<b,b<0
根据不等式的性质得:ab>bb
即ab>b2
∴C正确
对于D:由已知条件知:
∴D错误
故选C
【点评】本题考查不等式的性质,须牢固掌握并能灵活应用不等式的性质,注意特值法的应用
4. (5分)下列命题
①如果一个几何体的三视图是完全相同的,则这个几何体是正方体;
②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形,则这个几何体是长方体;
③如果一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体;
④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形,则这个几何体是圆台.其中真命题的个数是()
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案:
B
考点: 简单空间图形的三视图.
专题: 综合题.
分析: 找出①的其它可能几何体﹣﹣﹣球;找出满足②其它可能几何体是圆柱;③如果一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体;正确;找出满足④可能的其它几何体是棱台;然后判断即可.
解答: ①如果一个几何体的三视图是完全相同的,则这个几何体是正方体;也可能是球,不正确;
②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形,则这个几何体是长方体;可能是放倒的圆柱,不正确;
③如果一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体;正确;
④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形,则这个几何体是圆台.可能是棱台;不正确
故选B.
点评: 本题是基础题,考查几何体的三视图的作法,对于常见几何体的三视图,做到心中有数,解题才能明辨是非,推出正确结果.
5. 已知数列为等差数列,且的值为 ( ▲ )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 设是首项为1的正项数列,且(=1,2,3,…),则它的通项公式是=( ).
A.100 B. C.101 D.
参考答案:
B
7. 如图是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边BD长为2;侧视图为一直角三角形;俯视图为一直角梯形,且AB=BC=1,则此几何体的体积是( )
A. B. C. D.1
参考答案:
A
【考点】L!:由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体,画出其直观图,判断几何体的高,计算底面面积,代入体积公式计算.
【解答】解:由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体,其直观图如图:
根据三视图中正视图是一等腰直角三角形,且斜边BD长为2,∴棱锥的高为1,
底面直角梯形的底边长分别为1、2,高为1,∴底面面积为=,
∴几何体的体积V=××1=.
故选A.
8. 若,则( )
A.1 B.3 C. D.2
参考答案:
D
9. 如图为苗族刺绣中最基本的图案,这些图案都由小正方形构成,如果按同样的规律刺绣下去,第20个图形中包含小正方形的个数为( )
A.
761
B.
762
C.
841
D.
842
参考答案:
A
10. 圆与圆的位置关系为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
参考答案:
B
由题意得,两圆的圆心坐标分别为,半径分别为,
所以两圆的圆心距为,则,所以两圆相交。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列{an}中, a1=2, 且an+1+2an=3, 则an= .
参考答案:
a<0
略
12. 若tanα=,则tan(α+)= .
参考答案:
3
【考点】两角和与差的正切函数.
【分析】根据tanα的值和两角和与差的正切公式可直接得到答案.
【解答】解:∵tanα=
∴tan(α+)===3
故答案为:3.
13. 数列{an}前n项和为Sn=n2+3n,则{an}的通项等于 .
参考答案:
an=2n+2
【考点】84:等差数列的通项公式.
【分析】利用公式可求出数列{an}的通项an.
【解答】解:当n=1时,a1=S1=1+3=4,
n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n2+3n)﹣[(n﹣1)2+3(n﹣1)]=2n+2,
当n=1时,2n+2=4=a1,适合上式
∴an=2n+2.
故答案为2n+2,(n∈N*)
14. 若函数的定义域为A,值域为B,则A∩B=____________。
参考答案:
[0,2]
解:令,∴,解得定义域A=[-4,2];,∴值域B=[0,3]。∴A∩B=[0,2]。
15. 已知sin2α=﹣sinα,则tanα= .
参考答案:
±或0
【考点】二倍角的正弦.
【分析】sin2α=﹣sinα,可得sinα(2cosα+1)=0,解得:sinα=0,cosα=﹣,进而得出.
【解答】解:∵sin2α=﹣sinα,
∴sinα(2cosα+1)=0,
解得:sinα=0,或cosα=﹣,
若sinα=0,则tanα=0,
若cosα=﹣,则sinα=,∴tanα=±.
故答案为:±或0.
16. (5分)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 .
参考答案:
60°
考点: 直线与平面所成的角.
专题: 空间角.
分析: 三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱,取BC的中点E,则∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角,解直角三角形求出∠ADE的大小,[来源:Z,xx,k.Com]
即为所求.
解答: 由题意可得,三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱,
取BC的中点E,则AE⊥∠面BB1C1C,ED就是AD在平面BB1C1C内的射影,故∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角,
设三棱柱的棱长为1,直角三角形ADE中,tan∠ADE===,
∴∠ADE=60°,
故答案为 60°.
点评: 本题考查直线与平面成的角的定义和求法,取BC的中点E,判断∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角,是解题的关键,属于
中档题.
17. 设变量x,y满足约束条件则目标函数的最大值为 。
参考答案:
3
画出约束条件的可行域,如图所示:
目标函数z=x+y经过可行域A点时,目标函数取得最大值.
由可得,目标函数z=x+y的最大值为3.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知集合,集合,集合
(1)求
(2)若,求实数的取值范围;
参考答案:
略
19. 已知二次函数,(为常数,且)满足条件,且方程有两个相等的实根.
(1)求的解析式;
(2)设,若,求在上的最小值;
(3)是否存在实数,使的定义域和值域分别为与,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1)由可知对称轴为,即,
又有两个相等的实数根,可得,所以
(2)
当时,;
当时,;
当时,;
所以
(3),所以,所以在上单调递增,即,结合可得
20. 已知函数的定义域为,对于任意的,都有,且当时,,若.
(1)求证:为奇函数;
(2)求证:是上的减函数;
(3)求函数在区间上的值域.
参考答案:
(1)证明:的定义域为,令,则, 令,则,即.
,故为奇函数. 4分
(2)证明:任取且,
则
又,,,
即.
故是上的减函数. 8分
(3)解:
又为奇函数,
由(2)知是上的减函数,
所以当时,取得最大值,最大值为;
当时,取得最小值,最小值为. 11分
所以函数在区间上的值域为. 12分
21. (本小题满分12分)
如图,左侧的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,
它的正视图和侧视图如图(单位:).
(1)求该多面体的体积;
(2)证明:平面∥平面.
参考答案:
(1)所求多面体的体积.……6分
(2)如图,在长方体中,依题意分别为的中点.
连接,则四边形为平行四边形,. ……9分
分别为的中点,
,从而∥.
平面,, ∥平面. ……12分
22. 已知a>0,b>0,且2a+b=ab.
(1)求ab的最小值;
(2)求a+2b的最小值.
参考答案:
解:因为2a+b=ab,
所以+=1;
(1)因为a>0,b>0,
所以1=+≥2,当且仅当==,即a=2,b=4时取等号,所以ab≥8,即ab的最小值为8;
(2)a+2b=(a+2b)(+)=5++≥5+2=9,
当且仅当=,即a=b=3时取等号,
所以a+2b的最小值为9.