湖南省衡阳市耒阳第二中学高二数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 用秦九韶算法计算多项式当的值时，先算的是（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
参考答案：
B
3. 若两个球的表面积之比为,则这两个球的体积之比（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
4. 抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
5. 有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是
． ． ． ．
参考答案：
B
6. 已知函数，函数，则满足不等式的实数a的取值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
略
7. 已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则?R（A∩B）=（ ）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（0，1] D．[0，1]
参考答案：
A
考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 集合．
分析： 求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，求出A与B的解集，进而确定交集的补角即可．
解答： 解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≥0，且x﹣1≠0，
解得：x≤0或x＞1，即A=（﹣∞，0]∪（1， +∞），
由B中y=2x+1＞1，即B=（1，+∞），
∴A∩B=（1，+∞），
则?R（A∩B）=（﹣∞，1]，
故选：A．
点评： 此题考查了交、并、补角的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8. 已知集合，命题，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
考点：命题的否定.
9. 定积分cosxdx=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．π
参考答案：
B
【考点】67：定积分．
【分析】根据微积分基本定理，计算即可
【解答】解： cosxdx=sinx=sinπ﹣sin0=0﹣0=0
故选：B
10. 已知复数z=（3a+2i）（b﹣i）的实部为4，其中a、b为正实数，则2a+b的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
参考答案：
D
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】先化简z，根据复数的定义求出ab=，利用基本不等式即可求出答案．
【解答】解：z=（3a+2i）（b﹣i）=3ab+2+（2b﹣3a）i，
∴3ab+2=4，
∴ab=，
∴2a+b≥2=2=，当且仅当a=，b=时取等号，
故2a+b的最小值为，
故选：D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若方程表示圆，则实数t的取值范围是 ．
参考答案：
12. 在△ABC中，有等式：① asinA=bsinB；② bsinC=csinB；③ acosB=bcosA；
④. 其中恒成立的等式序号为________.
参考答案：
②④
13. 周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为__________．
参考答案：
π cm3
略
14. 如果一个复数的实部、虚部对应一个向量的横坐标、纵坐标，已知对应向量为a，对应向量为b，则向量a与b的数量积为___________.
参考答案：
3
略
15. 若
则的值为（ ）
A．2 B -1 C -2 D 1
参考答案：
C
略
16. 如图所示，有5组数据：，，，，，去掉__________组数据后剩下的4组数据的线性相关系数最大.
参考答案：
C
分析：各组数据所表示的点越集中靠在同一条直线上，相关系数越大，观察图象可知应去掉点C组数据.
详解：仔细观察点，，，，，可知点ABDE在一条直线附近，而C点明显偏离此直线上，由此可知去掉点C后，使剩下的四点组成的数组相关关系数最大,故答案为C.
点睛：本题主要考查散点图与相关系数的关系，属于简单题.
17. 对于命题：如果是线段上一点,则；将它类比到平面的情形是：若是 内一点,有；将它类比到空间的情形应该是:若是四面体内一点,则有_ ▲ ．
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18.
(1)求b的值；(2).
参考答案：
答：（1）因为，
所以，，所以. ……………………5分
（2）因为，所以
由正弦定理得： 所以，. ……………………10分
略
19. 已知圆，点，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P.
（I）求动点P的轨迹W的方程；
（II）设M、N分别是曲线W上的两个不同的点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率；
（III）过点，且斜率为的动直线交曲线W于A B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的原恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在说明理由.
参考答案：
（2）解法二：由，得
，
设MN：，得：
，
，.
略
20. (本题满分16分）
已知数列满足：，，，记数列，（）.
（1）证明数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在数列的不同项（）使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项（）；若不存在，请说明理由．
参考答案：
解：（1）由已知 ，
， …………………… 3分
所以是为首项，为公比的等比数列 ……………………5分
（2） ，……7分
…………………10分
（3）假设存在满足题意成等差数列，
代入得 ………………12分
，左偶右奇不可能成立。所以假设不成立，
这样三项不存在。 ………………………………………………………16分
略
21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥面ABCD，点Q在棱PA上，且PA=4PQ=4，AB=2，CD=1，AD=，∠CDA=∠BAD=，M，N分别是PD，PB的中点．
（1）求证：MQ∥面PCB；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成的锐二面角的大小．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】向量法：对于（1）求证：MQ∥平面PCB，可求出线的方向向量与面的法向量，如果两者的内积为0则说明线面平行
对于（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小，求出两个平面的法向量，然后根据根据二面角的正弦与法向量的数量积的关系，求解；
【解答】解：法一：向量法：
以A为原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z建立空间直角坐标系O﹣xyz，
由，PA=4PQ=4，M，N分别是PD，PB的中点，
可得：，
∴，
设平面的PBC的法向量为，
则有：
令z=1，则，
∴，
又MQ?平面PCB，∴MQ∥平面PCB；
（2）设平面的MCN的法向量为，又
则有：
令z=1，则，
又为平面ABCD的法向量，
∴，又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角，
∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为，
法二：几何法：
（1）取AP的中点E，连接ED，则ED∥CN，
依题有Q为EP的中点，
所以MQ∥ED，所以MQ∥CN，
又MQ?平面PCB，CN?平面PCB，
∴MQ∥平面PCB
（2）易证：平面MEN∥底面ABCD，
所以截面MCN与平面MEN所成的二面角即为平面MCN与底面ABCD所成的二面角，
因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥平面MEN，
过E做EF⊥MN，垂足为F，连接QF，
则由三垂线定理可知QF⊥MN，
由（1）可知M，C，N，Q四点共面所以∠QFE为截面MCN与平面MEN所成的二面角的平面角，
，
所以：，
所以：；
22. 如图,直棱柱中,分别是的中点,.(1)证明:平面; (2)求二面角的正弦值.
参考答案：
略