湖北省鄂州市大冶市第二中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (3分)函数f(x)=ax﹣1+4(a>0,且a≠1)的图象过一个定点,则这个定点坐标是()
A. (5,1) B. (1,5) C. (1,4) D. (4,1)
参考答案:
B
考点: 指数函数的单调性与特殊点.
专题: 计算题.
分析: 由题意令x﹣1=0,解得x=1,再代入函数解析式求出y的值为5,故所求的定点是(1,5).
解答: 解:令x﹣1=0,解得x=1,则x=1时,函数y=a0+4=5,
即函数图象恒过一个定点(1,5).
故选B.
点评: 本题考查了指数函数图象过定点(0,1),即令指数为零求对应的x和y,则是所求函数过定点的坐标.
2. .已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别是a,b,c,若,则b等于( )
A. 3 B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求解
【详解】由条件可知,故选.
【点睛】本题考查解三角形,属于基础题.
3. 已知指数函数的图象过点,则与的大小为( )
A. B. C. D.无法确定
参考答案:
C
略
4. 等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,若=,则等于( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
D
5. 点A在z轴上,它到点(2,,1)的距离是,则点A的坐标是( )
A.(0,0,﹣1) B.(0,1,1) C.(0,0,1) D.(0,0,13)
参考答案:
C
【考点】空间两点间的距离公式.
【专题】方程思想;综合法;空间向量及应用.
【分析】设A(0,0,z),由题意和距离公式可得z的方程,解方程可得.
【解答】解:由点A在z轴上设A(0,0,z),
∵A到点(2,,1)的距离是,
∴(2﹣0)2+(﹣0)2+(z﹣1)2=13,
解得z=1,故A的坐标为(0,0,1),
故选:C.
【点评】本题考查空间两点间的距离公式,属基础题.
6. 已知实数,满足方程,求的最小值
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 下列函数中,周期为,且在区间上单调递增的函数是( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
C
8. 某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种 树苗的长势情况,从两块地各随机抽取了10株树苗,用茎叶图表示上述两组数据,对两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数进行比较,下面结论正确的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
9. 若角终边上一点的坐标为,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
10. (1+tan215°)cos215°的值等于( )
A. B.1 C.﹣ D.
参考答案:
B
【考点】三角函数的化简求值.
【专题】计算题;函数思想;三角函数的求值.
【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简求解即可.
【解答】解:(1+tan215°)cos215°
=cos215°+sin215°
=1.
故选:B.
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用,三角函数的化简求值,是基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的定义域是 .
参考答案:
12. 某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元,每生产一单位产品,成本增加10万元,又知总收入k是产品数θ的函数,,则总利润L(θ)的最大值是________.
参考答案:
略
13. 设等差数列的前项和为____________
参考答案:
16
略
14. 设分别是关于的方程和的根,则
=
参考答案:
4
15. 已知函数,给出下列结论:
①若对于任意且,都有,则为R上的减函数;
②若为R上的偶函数,且在内是减函数,,则的解集为
③若为R上的奇函数,则也是R上的奇函数;
④为常数,若对任意的都有,则的图象关于对称,
其中所有正确的结论序号为
参考答案:
①③
①中,不妨设,由,所以为R上的减函数,所以正确;②中,的解集为,所以不正确;③中,设则,,所以函数为R上的奇函数,所以正确;④中,由可得,函数是以为周期的周期函数,故不正确。
16. 若,则 .
参考答案:
分子分母同时除以得,解得,故.
17. 定义“等和数列”:在一个数列,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,则a18的值为 .
参考答案:
3
【考点】8B:数列的应用.
【分析】由题意可知,an+an+1=5,且a1=2,所以,a2=3,a3=2,a4=3,进而找出这个数列的奇数项为2,偶数项为3,所以a18的数值为3.
【解答】解:由题意知,an+an+1=5,且a1=2,
所以,a1+a2=5,得a2=3,a3=2,a4=3,
…
∴a17=2,a18=3,
故答案为:3.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点.
(1)求证:PD∥平面AEC;
(2)求证:平面AEC⊥平面PDB.
参考答案:
略
19. (本小题满分12分)
设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的n∈N*,都有Sn=2 an-3n .
(1)求证 { an+3}是等比数列
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求数列{an}的前n项和Sn .
参考答案:
解:(1)令n=1,S1=2a1-3. ∴a1 =3 又Sn+1=2an+1-3(n+1), Sn=2an-3n,两式相减得,an+1 =2an+1-2an-3,则an+1 =2an+3 (2){ an+3}是公比为2的等比数列.则
an+3=(a1+3)·2n-1=6·2n-1, ∴an =6·2n-1-3 . (3)
略
20. (1)求函数的定义域;
(2)求函数(a>0,且a≠1)的值域.
参考答案:
【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法.
【专题】计算题;分类讨论;函数的性质及应用.
【分析】(1)由题意得,从而求函数的定义域;
(2)由配方法可得﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4≤4,再讨论a以确定对数函数的单调性,从而求值域.
【解答】解:(1)由题意得,
,
解得,0<x≤5,且x≠4,
∴函数f(x)的定义域是(0,4)∪(4,5];
(2)∵t=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4≤4,
①当0<a<1时,f(x)≥loga4,
即函数的值域是[loga4,+∞);
②当a>1时,f(x)≤loga4,
即函数的值域是(﹣∞,loga4].
【点评】本题考查了函数的定义域与值域的求法,同时考查了分类讨论的思想应用及配方法与单调性的应用.
21. (本题满分9分)已知:向量,且。
(1)求实数的值;
(2)求向量的夹角;
(3)当与平行时,求实数的值。
参考答案:
(1),由得0
即,故;…………3分
(2)由,
当平行时,,
从而。 …………9分
22. 已知:
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
参考答案:
解:(Ⅰ),
即: ……………………2分
.……………………………4分
又
. ……………………………6分
(Ⅱ)由已知条件:
,解得. ……………………………8分
…10分
.………………………………………………12分
略