湖南省湘西市小溪桥中学高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数y=sinx+cosx的值域是( )
A.[﹣1,1] B.[﹣2,2] C. D.
参考答案:
D
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的定义域和值域.
【分析】利用两角和差的正弦公式 把函数y化为sin(x+),根据﹣1≤sin(x+)≤1,得到﹣≤sin(x+)
≤,从而得到函数y的值域.
【解答】解:函数y=sinx+cosx=sin(x+),
由于﹣1≤sin(x+)≤1,∴﹣≤sin(x+)≤,
故函数y=sinx+cosx的值域是,
选D.
2. (5分)从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为()
A. 0.7 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.3
参考答案:
C
考点: 互斥事件的概率加法公式.
专题: 概率与统计.
分析: 根据对立事件的概率和为1,结合题意,即可求出结果来.
解答: 根据对立事件的概率和为1,得;
∵事件A={抽到一等品},且 P(A)=0.65,
∴事件“抽到的不是一等品”的概率为
P=1﹣P(A)=1﹣0.65=0.35.
故选:C.
点评: 本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题,是基础题目.
3. 若tan(π﹣a)=﹣,则的值为( )
A.﹣ B.﹣15 C.D.15
参考答案:
D
【分析】先求出tanα=,再弦化切,即可得出结论.
【解答】解:∵tan(π﹣α)=﹣,
∴tanα=,
∴=.
故选:D.
4. 某扇形的半径为1cm,它的弧长为2cm,那么该扇形的圆心角为( )
A.2° B. 4rad C. 4° D. 2rad
参考答案:
D
5. cos210°=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
参考答案:
A
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】由诱导公式,特殊角的三角函数值即可化简求值得解.
【解答】解:cos210°=cos=﹣cos30°=﹣.
故选:A.
6. 三个数,,的大小关系式是
A. << B. <<
C. << D. <<
参考答案:
B
略
7. (5分)下列函数:(1)f(x)=x3+2x;(2)f(x)=;(3)f(x)=x+;(4)f(x)=x﹣3;(5)f(x)=x+x5中,奇函数有()个.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
参考答案:
B
考点: 函数奇偶性的判断.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 因为函数的定义域都关于原点对称,所以只要将解析式的x换成﹣x,化简后观察f(﹣x)与f(x)的关系,若相同,则是偶函数,相反是奇函数.
解答: 经观察,各函数的定义域都关于原点对称;
对于(1),f(﹣x)=(﹣x)3+2(﹣x)=﹣(x3+2x)=﹣f(x),上奇函数;
对于(2),f(﹣x)==f(x);上偶函数;
对于(3),f(﹣x)=﹣x﹣=﹣f(x),上奇函数;
对于(4),是非奇非偶的函数;
对于(5),f(﹣x)=﹣x+(﹣x)5=﹣(x+x5)=﹣f(x);
所以奇函数有(1)(3)(5)三个;
故选B.
点评: 本题考查了函数奇偶性的判断,在函数定义域关于原点对称的前提下,判断f(﹣x)与f(x)的关系.
8. 已知扇形的弧长为6,圆心角弧度数为3,则其面积为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
参考答案:
B
【考点】扇形面积公式.
【分析】利用扇形的面积计算公式、弧长公式即可得出.
【解答】解:由弧长公式可得6=3r,解得r=2.
∴扇形的面积S==6.
故选B.
【点评】本题考查了扇形的面积计算公式、弧长公式,属于基础题.
9. 设函数的图像过点,其反函数的图像过点,则等于 ( )
A.1 B.2 C.3 D.
参考答案:
D
略
10. 函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在(4,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( )
A.a≥5 B.a≥﹣3 C.a≤﹣3 D.a≤5
参考答案:
B
【考点】二次函数的性质.
【分析】函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2的对称轴为x=1﹣a,由1﹣a≤4即可求得a.
【解答】解:∵函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2的对称轴为x=1﹣a,
又函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在[4,+∞)上是增函数,
∴1﹣a≤4,
∴a≥﹣3.
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若关于的方程组有解,且所有的解都是整数,则有序数对的数目为 。
参考答案:
。
解析:的整数解为,
所以这八个点两两所连的不过原点的直线有条,过这八个点的切线有条,每条直线确定了唯一的有序数对,所以有序数对的数目为。
12. 用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是:__________
参考答案:
51
略
13. 若三点A(1,3)、B(a,0)、C(0,1)共线,则a的值等于 .
参考答案:
﹣
【考点】三点共线.
【分析】三点A(1,3)、B(a,0)、C(0,1)共线,可得a≠0,1,kBA=kAC,利用斜率计算公式即可得出.
【解答】解:三点A(1,3)、B(a,0)、C(0,1)共线,
则a≠0,1,kBA=kAC,可得=,解得a=﹣.
故答案为:﹣.
14. 设偶函数f(x)满足:f(1)=2,且当时xy≠0时,,则f(﹣5)= .
参考答案:
【考点】抽象函数及其应用;函数奇偶性的性质.
【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】通过计算,确定f(n)=,即可得出结论.
【解答】解:令x=y=1,可得f()==1,∴f()===
f(2)==,f()=,f(3)=,
∴f(n)=
∴f(5)=,
∵f(x)是偶函数,
∴f(﹣5)=f(5)=.
故答案为:.
【点评】本题考查抽象函数,考查赋值法的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
15. (4分)在空间直角坐标系中,在z轴上求一点C,使得点C到点A(1,0,2)与点B(1,1,1)的距离相等,则点C的坐标为 .
参考答案:
(0,0,1)
考点: 空间中的点的坐标.
专题: 计算题.
分析: 根据点C在z轴上,设出点C的坐标,再根据C到A与到B的距离相等,由空间中两点间的距离公式求得AC,BC,解方程即可求得C的坐标.
解答: 解:设C(0,0,z)
由点C到点A(1,0,2)与点B(1,1,1)的距离相等,得
12+02+(z﹣2)2=12+12+(z﹣1)2解得z=1,故C(0,0,1)
故答案为:(0,0,1).
点评: 考查空间两点间的距离公式,空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆,利于知识的系统化,属基础题.
16. (5分)已知tanθ=﹣,则的值为 .
参考答案:
考点: 三角函数的化简求值.
专题: 三角函数的求值.
分析: 直接利用同角三角函数的基本关系式化简求解即可.
解答: tanθ=﹣,则===﹣.
故答案为:.
点评: 本题考查萨迦寺的化简求值,同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力.
17. 在二分法求方程f(x)=0在[0,4]上的近似解时,最多经过 次计算精确度可以达到0.001.
参考答案:
12
【考点】二分法求方程的近似解.
【分析】精确度是方程近似解的一个重要指标,它由计算次数决定.若初始区间是(a,b),那么经过1次取中点后,区间的长度是,…,经过n次取中点后,区间的长度是,只要这个区间的长度小于精确度m,那么这个区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解,由此可得结论.
【解答】解:初始区间是[0,4],精确度要求是0.001,需要计算的次数n满足<0.001,即2n>4000,
而210=1024,211=2048,212=4096>4000,故需要计算的次数是12.
故答案为:12
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知(为常数).
(1)求的递增区间;
(2)若时,的最大值为4,求的值;
(3)求出使取最大值时的集合.
参考答案:
解(1)当 2分
即时,单调递增, 4分
的递递增区间为; 5分
(2), , 6分
8分
当时,有最大值为 9分
; 10分
(3)当R,则取最大值时, 12分
, 13分
当R,使取得最大值时的集合为. 14分
略
19. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①;②;
③;④;
⑤.
(1) 利用计算器求出这个常数;
(2) 根据(1)的计算结果,请你写出一个三角恒等式,使得上述五个等式是这个恒等式的特殊情况;
(3)证明你写出的三角恒等式.
参考答案:
略
20. 已知指数函数y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)确定y=g(x),y=f(x)的解析式;
(2)若h(x)=f(x)+a在(﹣1,1)上有零点,求a的取值范围;
(3)若对任意的t∈(﹣4,4),不等式f(6t﹣3)+f(t2﹣k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;奇偶性与单调性的综合.
【分析】(1)设g(x)=ax(a>0且a≠1),由g(3)=8可确定y=g(x)的解析式,故y=,依题意,f(0)=0可求得n,从而可得y=f(x)的解析式;
(2)若h(x)=f(x)+a在(﹣1,1)上有零点,利用零点存在定理,由h(﹣1)h(1)<0,可求a的取值范围;
(3)由(2)知奇函数f(x)在R上为减函数,对任意的t∈(﹣4,4),不等式f(6t﹣3)+f(t2﹣k)<0恒成立?6t﹣3>k﹣t2,分离参数k,利用二次函数的单调性可求实数k的取值范围.
【解答】(本小题12分)
(1)设g(x)=ax(a>0且a≠1),∵g(3)=8,∴a3=8,解得a=2.
∴g(x)=2x.…(1分)
∴,
∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,∴ =0,∴n=1,
∴又f(﹣1)=f(1),∴=,解得m=2
∴.…
(2)由(1)知,
易知f(x)在R上为减函数,…
又h(x)=f(x)+a在(﹣1,1)上有零点,
从而h(﹣1)h(1)<0,即,…(6分)
∴(a+)(a﹣)<0,
∴﹣<a<,
∴a的取值范围为(﹣,);…(8分)
(3)由(1)知,
又f(x)