湖南省衡阳市麇城实验中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在平面上,已知⊥,||=||=1,=+,若||<,则||的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
考点: 向量的模.
专题: 平面向量及应用.
分析: 根据⊥,=+,可知:四边形AB1PB2是一个矩形.以AB1,AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系.设|AB1|=a,|AB2|=b.点O的坐标为(x,y),点P(a,b).根据向量的坐标运算、模的计算公式、不等式的性质即可得出.
解答: 解:根据⊥,=+,可知:四边形AB1PB2是一个矩形.
以AB1,AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系.设|AB1|=a,|AB2|=b.
点O的坐标为(x,y),点P(a,b).
∵||=||=1,
∴,
变形为.
∵||<,∴,
∴1﹣x2+1﹣y2,∴.①
∵(x﹣a)2+y2=1,∴y2≤1.同理,x2≤1.
∴x2+y2≤2.②
由①②可知:.
∵=,∴.故选:D.
点评: 本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的定义、向量的坐标运算、模的计算公式、不等式的性质,考查了数形结合的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
2. 设 a=sin46°,b=cos46°,c=tan46°.则( )
A.c>a>b B.a>b>c C.b>c>a D.c>b>a
参考答案:
A
【考点】任意角的三角函数的定义;三角函数线.
【专题】转化思想;数形结合法;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用诱导公式、正弦函数的单调性和值域,得出结论.
【解答】解:由 a=sin46°,b=cos46°=sin44°,c=tan46°>tan45°=1,
而y=sinx在(0,)上是增函数且函数值小于1,
可得 c>a>b,
故选:A.
【点评】本题主要考查诱导公式、正弦函数的单调性和值域,属于基础题.
3. 若f(x)=,f(f(1))=1,则a的值是( )
A.﹣1 B.﹣2 C.2 D.1
参考答案:
D
【考点】函数的值.
【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】利用分段函数的性质求解.
【解答】解:∵f(x)=,f(f(1))=1,
∴f(1)=lg1=0,
f(f(1))=f(0)=0+==a3=1,
解得a=1.
故选:D.
【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意分段函数的性质及定积分的性质的合理运用.
4. 若复数z满足z(1-2i)=5(i为虚数单位),则复数z为
(A) (B)1+2i (C) 1-2i (D)
参考答案:
B
略
5. f(x)=,则f(f(﹣1))等于( )
A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4
参考答案:
D
考点:对数的运算性质;函数的值.
专题:函数的性质及应用.
分析:根据分段函数的定义域,先求f(﹣1)的值,进而根据f(﹣1)的值,再求f(f(﹣1)).
解答: 解:由分段函数知,f(﹣1)=,
所以f(f(﹣1))=f(2)=3+log22=3+1=4.
故选D.
点评:本题考查分段函数求值以及对数的基本运算.分段函数要注意各段函数定义域的不同.在代入求值过程中要注意取值范围.
6. 已知如图所示的程序框图是为了求出使n!<5000的n最大值,那么在①和②处可以分别填入( )
A. S<5000?;S=n?(n+1) B. S≥5000?;S=S?n
C. S<5000?;S=S?n D. S≥5000?;S=n?(n+1)
参考答案:
C
【分析】
根据程序框图了解程序功能进行求解.
【详解】因为要求“否”时,n=n﹣1,然后输出n,所以①处应填S<5000?;
又因为使n!<5000的n的最大值,所以②处应该填S=S?n,
故选:C.
【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断,了解程序框图的功能是解决本题的关键.
7.
参考答案:
C
略
8. 在中,,若O为内部的一点,且满足,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 某几何体的三视图如右所示,若该几何体的外接球的表面积为,则正视图中( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 若都是实数,且,则“”是“”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数为偶函数,且,若函数,则______.
参考答案:
2014
12. 若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256,则该展开式中常数项的值为 .
参考答案:
1120
13. 正方体的棱长为,是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦),为正方体表面上的动点,当弦最长时,的取值范围是 ▲ .
参考答案:
略
14. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S,则“三斜求积”公式为.若,,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为 .
参考答案:
由正弦定理得,由得,则由得,则 .
15. 以下四个命题中:
①为了解600名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为30的样本,考虑用系统抽样,则分段的间隔k为30;
②直线y=kx与圆恒有公共点;
③在某项测量中,测量结果服从正态分布N(2,)(>0).若在(-∞,1)内取值的概率为0.15,则在(2,3)内取值的概率为0.7;
④若双曲线的渐近线方程为,则k=1.
其中正确命题的序号是 .
参考答案:
②
16. 执行如右图所示的程序框图,若输出的,则输入整数的最小值是 .
输入整数
输出
开始
结束
否
是
参考答案:
17. 向量,满足,且,,则,夹角的等于______.
参考答案:
由得,即,所以,所以。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分) 已知函数.
(1) 求函数的最小正周期和单调递减区间;
(2)求函数在上的最大值和最小值,并指出此时相应的x的值.
参考答案:
解:(1)
∴ ··························· 4分
由,得
∴ 单调递减区间为················································· 7分
(2) 由 (1) 知 ∵ ∴
∴ 当
当 13分
略
19. (本大题12分) 设,其中为正实数
(Ⅰ)当时,求的极值点;
(Ⅱ)若为上的单调函数,求的取值范围。
参考答案:
20. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段,…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(Ⅰ)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;
(Ⅱ)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和
平均分;
(Ⅲ) 从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人,
求他们在同一分数段的概率.
参考答案:
解析:(Ⅰ)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率:
直方图如右所示
(Ⅱ)依题意,60及以上的分数所在的第三、四、五、六组,
频率和为
所以,抽样学生成绩的合格率是%
利用组中值估算抽样学生的平均分
==71
估计这次考试的平均分是71分
(Ⅲ), ,”的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人,他们在同一分数段的概率。
21. 已知函数
(1)若在x∈[1,+∞]上是增函数,求实数的取值范围;
(2)若x=是的极值点,求在上的最小值和最大值.
参考答案:
解析:(1)在x∈[1,+∞]上是增函数
在[1,+∞]恒成立
当时等号成立
由题可知
当时 ,
此时 由可得;
由可得,
所以函数的单调递增区间为,
函数的单调递增区间为
又
极小值为
函数的函数的最小值为
函数的函数的最大值为
当时 ,
此时 由,在上为增函数,
略
22. (10分)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为10,是一个与n无关的常数,数列{an}的前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式及数列的前n项和Tn;
(2)若a1,a2,a4恰为等比数列{bn}的前三项,记数列cn=an(cosnπ+bn),求{cn}的前n项和为Kn.
参考答案:
(1)(2)Kn=.
(1)∵是一个与n无关的常数,∴a1=d.
又,∴a1=1,
∴an=n,,
∴,
∴Tn=…+=…+==.
(2)∵b1=a1=1,b2=a2=2,是等比数列{bn}的前3项,
∴.
∴cn=n(﹣1)n+n×2n﹣1,
记,
则,
Bn=1+2×21+3×22+…n×2n﹣1=(n﹣1)2n+1.
Kn=.