2022-2023学年湖南省常德市澧县第四中学高一数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 数列满足 ,若,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 在正三棱锥P﹣ABC中,D、E分别为AB、BC的中点,有下列三个论断:①面APC⊥面PBD;②AC∥面PDE;③AB⊥面PDC,其中正确论断的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
【考点】棱柱的结构特征.
【分析】对于①利用正三棱锥的性质即可判定,对于②利用线面平行的判定定理进行判定,对于③利用线面垂直的判定定理进行判定.
【解答】解:①根据正三棱锥的性质可知,面APC⊥面PBD不成立,故不正确;
②∵AC∥DE,AC?面PDE,DE?面PDE,
∴AC∥平面PDE,故正确
③AB⊥PD,AB⊥CD,PD∩CD=D,∴AB⊥面PDC,③显然正确;
故选C.
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定,以及直线与平面垂直的判定考查的知识点比较多,属于基础题.
3. 设,则函数在区间上是增函数的概率是
A. B.
C. D.
参考答案:
D
4. 下列命题正确的有( )
(1)很小的实数可以构成集合;
(2)集合与集合是同一个集合;
(3)这些数组成的集合有个元素;
(4)集合是指第二和第四象限内的点集。
A.个 B.个 C.个 D.个
参考答案:
A
略
5. 点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
参考答案:
由点到直线的距离公式答案为A.
6. 对于不同的直线l、m、n及平面,下列命题中错误的是()
A. 若,,则 B. 若,,则
C. 若,,则 D. 若,,则
参考答案:
C
【分析】
由平面的基本性质及其推论得:对于选项C,可能l∥n或l与n相交或l与n异面,即选项C错误,得解.
【详解】由平行公理4可得选项A正确,由线面垂直的性质可得选项B正确,
由异面直线所成角的定义可得选项D正确,
对于选项C,若l∥α,n∥α,则l∥n或l与n相交或l与n异面,
即选项C错误,
故选:C.
【点睛】本题考查了平面中线线、线面的关系及性质定理与推论的应用,属简单题.
7. 下列各组函数中,表示同一函数的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
8. 若a,b是函数 的两个不同的零点,且 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
参考答案:
D
试题分析:由题意可得:a+b=p,ab=q,
∵p>0,q>0,
可得a>0,b>0,
又a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,
可得①或②.
解①得:;解②得:.
∴p=a+b=5,q=1×4=4,
则p+q=9.
考点:等比数列的性质;等差数列的性质
9. 若的值为( )
A.0 B.1 C.-1 D.1或-1
参考答案:
C
10. 设集合,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在中,已知,则 .
参考答案:
略
12. 若,则
参考答案:
2
13. 已知奇函数在时的图象如图所示,则不等式的解集是 .
参考答案:
14. 已知点和点,直线l:的法向量为,则=________;
参考答案:
0
15. 已知是与4的等差中项,则的最小值为____.
参考答案:
8
【分析】
根据等差数列的性质得到,原式可化为进而得到结果.
【详解】是与的等差中项,故得到
等号成立的条件是
故答案为:8.
【点睛】本题考查了二元化一元的思想,以及均值不等式的应用,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
16. 设函数,则f(f(3))=( )
A. B.3 C. D.
参考答案:
D
略
17. 设集合A={﹣1,0,1,2,3},B={x|x2﹣2x>0},则A∩B= .
参考答案:
{﹣1,3}
【考点】交集及其运算.
【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.
【分析】求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.
【解答】解:由B中不等式变形得:x(x﹣2)>0,
解得:x<0或x>2,即B={x|x<0或x>2},
∵A={﹣1,0,1,2,3},
∴A∩B={﹣1,3},
故答案为:{﹣1,3}
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四棱锥P--ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD,底面ABCD为梯形,AB∥DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,点E在棱PB上,且PE=2EB.
(1)求证:平面PAB⊥平面PCB;
(2)求证:PD∥平面EAC.
参考答案:
解 (1)∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BC,
又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.(3分)
又BC?平面PCB,
∴平面PAB⊥平面PCB.(6分)
(2)∵PA⊥底面ABCD,又AD?平面ABCD,
∴PA⊥AD.
又∵PC⊥AD,又PC∩PA=P,∴AD⊥平面PAC,又AC?平面PAC,
∴AC⊥AD.
在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC=,
∴∠DCA=∠BAC=.又AC⊥AD,故△DAC为等腰直角三角形.(8分)
∴DC=AC=2AB=2
易知,,故,
在△BPD中,
∴PD∥EM
又PD平面EAC,EM?平面EAC,
∴PD∥平面EAC.(12分)
略
19. 已知函数一个周期的图象如图2所示,
(1)求函数的周期T及最大值、最小值;
(2)求函数的表达式、单调递增区间。
参考答案:
解:(1)从图知,函数的周期为,
函数的最大值为,最小值为-1.
(2),则,
又时,,∴,
而,则,
∴函数的表达式为
单调递增区间为:
略
20. 已知,求的值
参考答案:
试题分析:利用诱导公式,倍角公式将所求式子化简,借助于同角间三角函数关系式转化为求解
试题解析:原式
考点:三角函数公式及化简
21. (8分)化简:
?sin(α﹣2π)?cos(2π﹣α)+cos2(﹣α)﹣.
参考答案:
考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用.
专题: 三角函数的求值.
分析: 原式利用诱导公式化简,再利用同角三角函数基本关系变形,整理即可得到结果.
解答: 原式=﹣?(﹣sinα)?cosα+cos2α+=sin2α+cos2α+=1+.
点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,以及同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.
22. 如图在四棱锥中,底面是菱形,是AC,BD的交点,PA=PC,PB=PD,是上一点.
求证:(1);(2).平面平面.
参考答案: