2022年湖北省荆州市监利县新沟高级中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设若在方向上的投影为, 且在方向上的投影为3, 则和的夹角等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 若直线经过第一、二、三象限,则正确的是
A. , B.,
C., D.,
参考答案:
D
3. 设向量,,则的夹角等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
利用平面向量的夹角公式求解即可.
【详解】由题得.
所以.
所以的夹角等于.
故选:
【点睛】本题主要考查平面向量的夹角公式的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
4. 函数的最小值和最小正周期分别是
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 函数在以下哪个区间内一定有零点 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. . 与的等比中项是( )
A. B.1 C.-1 D.
参考答案:
D
7. 设全集U=R,A={x∈N|1≤x≤5},B=x∈R|x2﹣x﹣2=0},则图中阴影表示的集合为( )
A.{﹣1} B.{2} C.{3,4,5} D.{3,4}
参考答案:
A
【考点】Venn图表达集合的关系及运算.
【分析】阴影部分为B∩(CRA),所以只需解出集合B,在进行集合运算即可.
【解答】解:阴影部分为B∩(CRA),而A={x∈N|1≤x≤5},B={x∈R|x2﹣x﹣2=0}={﹣1,2},
∴B∩(CRA)={x|x=﹣1},
故选A.
8. 已知是上的减函数,那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点:分段函数的单调性.
【思路点晴】本题考查学生的是分段函数的单调性,属于中档题目.题意给出函数在上单调递减,因此函数在各段中应分别单调递减,且在各段定义域的端点值处,左侧的值要大于等于右侧的值,一次函数单调递减,需要的一次项系数为负,指数函数单调递减,需保证底数,由以上限制条件解出不等式组即可.
9. 直三棱柱中,若,,则异面直线与
所成的角等于
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 在△ABC中,若,则△ABC的面积的最大值为( )
A.8 B.16 C. D.
参考答案:
D
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】根据平面向量的数量积公式和余弦定理,求出b2+c2=80,再利用基本不等式得出bc的最大值,写出△ABC的面积,求其最大值即可.
【解答】解:△ABC中,,
设A、B、C所对边分别为a,b,c,
则c?b?cosA=a=8①;
所以△ABC的面积为:
S△ABC=bcsinA=bc=bc=,
由余弦定理可得b2+c2﹣2bc?cosA=a2=64②,
由①②消掉cosA得b2+c2=80,
所以b2+c2≥2bc,
bc≤40,当且仅当b=c=2时取等号,
所以S△ABC=≤=8,
所以△ABC面积的最大值为8.
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 圆的圆心到直线l:的距离 。
参考答案:
3
12. 如图,边长为a的正△ABC中线AF与中位线DE相交于G,已知△A′ED是△AED绕DE旋转过
程中的一个图形,现给出下列命题,其中正确的命题有______(填上所有正确命题的序号).
(1)动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;
(2)三棱锥A′-FED的体积有最大值;
(3)恒有平面A′GF⊥平面BCED;
(4)异面直线A′E与BD不可能互相垂直.
参考答案:
(1)(2)(3)
13. 已知函数,则的值为————-————
参考答案:
14. 在△ABC中,若角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,△ABC的面积为,则 。
参考答案:
15. 设函数,则=
参考答案:
8
16. 函数y=()单调递增区间是 .
参考答案:
(﹣∞,1]
【考点】复合函数的单调性.
【分析】设t=x2﹣2x,根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论.
【解答】解:设t=x2﹣2x,则函数y=()t为减函数,
根据复合函数单调性之间的关系知要求函数f(x)的单调递增区间,
即求函数t=x2﹣2x的递减区间,
∵t=x2﹣2x的对称轴为x=1,递减区间为(﹣∞,1],
则函数f(x)的递增区间为(﹣∞,1],
故答案为:(﹣∞,1]
17. 若函数在[0,1)上是减函数,则实数a的取值范围____________.
参考答案:
(1,3]
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 自点P(-6,7)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-8x-6y+21=0相切。
(1) 求光线l所在直线的方程;
(2) 求光线从P点到切点所经过的路程。
参考答案:
(1) 3x+4y-10=0或4x+3y+3=0
(2) 14
略
19. 在公差不为零的等差数列{an}中,,且成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设,求数列{bn}的前n项和Sn.
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)先根据已知求出公差d,即得的通项公式;(2)先证明数列是等比数列,再利用等比数列的前n项和公式求.
【详解】(1)设等差数列的公差为,由已知得,
则,
将代入并化简得,解得,(舍去).
所以.
(2)由(1)知,所以,
所以,
所以数列是首项为2,公比为4的等比数列.
所以.
【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法,考查等比数列性质的证明和前n项和的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
20. (本大题10分)已知函数
(1)求函数的最小正周期;
(2)求使函数取得最大值的集合。
参考答案:
解: (1)
--------- 4分
∴ -- 6分
(2) 当取最大值时,,有 ,
即 (k∈Z) , ∴所求x的集合为。 ----- 10分
略
21. 为了参加全运会,对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如表.
(1)画出茎叶图
甲
27
38
30
37
35
31
乙
33
29
38
34
28
36
(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、标准差,并判断说明选谁参加比赛更合适.
参考答案:
【考点】BA:茎叶图.
【分析】(1)由茎叶图的特点确定茎叶图的茎和叶,得到茎叶图;
(2)利用平均数公式以及标准差公式得到数据,然后比较.
【解答】解:(1)由已知得到茎叶图如图:
(2)甲的中位数是33,乙的中位数是33.5
甲的平均数是
=33,
乙的平均数是
=33
甲的方差是15.67,标准差是3.96,乙的方差是12.67;标准差是3.56,
乙比较稳定一点,综合比较选乙参加比赛较为合适.
22. 记函数的定义域为A,的定义域为B。
(1)求A。
(2)若,求实数a的取值范围。
参考答案:
(1)由,得, 或即
由,且,所以,所以由于,从而有或,即或
结合,故或
从而实数的取值范围为。
略