广东省湛江市石岭中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 关于函数f（x）=sin2x－（）|x|+，有下面四个结论，其中正确结论的个数为（ ）
①f（x）是奇函数 ②当x＞2003时，f（x）＞恒成立
③f（x）的最大值是 ④f（x）的最小值是－
A1 B2 C3 D4
参考答案：
解析：A 显然f（x）为偶函数，结论①错对于结论②，当x=1000π时，x＞2003，sin21000π=0，
∴f（1000π）=－（）1000π＜，因此结论②错
又f（x）=－（）|x|+=1－cos2x－（）|x|，－1≤cos2x≤1，
∴－≤1－cos2x≤故1－cos2x－（）|x|＜，即结论③错
而cos2x，（）|x|在x=0时同时取得最大值，
所以f（x）=1－cos2x－（）|x|在x=0时可取得最小值－，即结论④是正确的
2. 下列5个关系式，其中正确的有
①{，b}＝{b，}；②{，b}?{b，}；③{0}＝?；④?{0}；⑤0∈{0}．
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
参考答案：
C
3. 如果集合A={y|y=－x2+1，x∈R+}，B={y|y=－x+1，x∈R}，则A与B的交集是（ ）
A．(0，1)或(1，1) B．{(0，1)，(1，1)}
C．{0，1} D．(－∞，1)
参考答案：
D
4. 已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案：
D
【详解】求解一元二次方程，得
，易知.
因为，所以根据子集的定义，
集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，
原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.
【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.
5. 计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与十进制得对应关系如下表：
16进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如用十六进制表示有D+E＝1B，则A×B=( )
A 6E B 7C C 5F D B0
参考答案：
A
6. 下面四个结论：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于y轴对称；
④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R），
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
A
【考点】3K：函数奇偶性的判断．
【分析】若函数y=f（x）是偶函数，则其定义域关于原点对称，解析式有f（﹣x）=f（x），图象关于y轴对称；若函数y=f（x）是奇函数，则其定义域关于原点对称，解析式有f（﹣x）=﹣f（x），图象关于原点对称．根据以上知识依次分析题目中的四个命题作出判断．
【解答】解：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，因此①错误，③正确；
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，只有在原点处有定义才通过原点，因此②错误；
若y=f（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f（x）=0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，
因此④错误．
故选A．
【点评】本题考查函数奇偶性的定义域、解析式及图象三种特征．
7. 在中,且,点满足则等于（▲）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
8. 数列{an}满足，对任意的都有，则（ ）
A. B. 2 C. D.
参考答案：
C
【分析】
根据题意，将变形可得，进而可得，裂项可得；据此由数列求和方法可得答案．
【详解】根据题意，数列满足对任意都有，则，
则，
则；
则；
故选：C．
【点睛】本题考查数列的递推公式和数列的裂项相消法求和，关键是求出数列的通项公式，属于综合题．
9. 关于函数,有下列说法：
①它的极大值点为-3，极小值点为3；②它的单调递减区间为[-2,2]；
③方程有且仅有3个实根时，a的取值范围是（18，54）.
其中正确的说法有（ ）个
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案：
C
函数，∴，
令，解得；
当x＜﹣3或x＞3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
﹣3＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
∴f（x）的极大值点为﹣3，极小值点为3，∴①正确；
f（x）的单调递减区间为[﹣3，3]，∴②错误；
f（x）的极大值是，
极小值是，
画出f（x）的图象如图所示，
∴方程f（x）=a有且仅有3个实根时，
a的取值范围是（18，54），③正确．
综上，其中正确的说法是①③，共2个．
10. 在△ABC中，a＝1，A＝30°，B＝60°，则b等于( )
A. B. C. D．2
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将棱长为2的正方体切割后得一几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为___________.
参考答案：
12. 如图，四边形ＡＢＣＤ中，Ａ＝60°, AD⊥CD ，ＤＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝，ＢＤ＝4，则BC的长为 。
参考答案：
13. 集合的子集个数为________
参考答案：
4
略
14. 已知数列{an}的首项，，.若对任意，都有恒成立，则a的取值范围是_____
参考答案：
(3,5)
【分析】
代入求得，利用递推关系式可得，从而可证得和均为等差数列，利用等差数列通项公式可求得通项；根据恒成立不等式可得到不等式组：，解不等式组求得结果.
【详解】当时，，解得：
由得：
是以为首项，8为公差的等差数列；是以为首项，8为公差的等差数列
，
恒成立 ，解得：
即a的取值范围为：(3,5)
本题正确结果：(3,5)
【点睛】本题考查根据数列的单调性求解参数范围的问题，关键是能够根据递推关系式得到奇数项和偶数项分别成等差数列，从而分别求得通项公式，进而根据所需的单调性得到不等关系.
15. 若，是方程的两个根，且，则 ．
参考答案：
16. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是_____．
参考答案：
5
17. 已知扇形的圆心角为，半径为5cm，则扇形的面积为 .
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在等差数列中，，．令，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）是否存在正整数，（）,使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
（1）设数列的公差为，由得
解得，
∴
（2）∵
∴
（3）由（1）知，，，
假设存在正整数、 ，使得、、成等比数列，
则 ， 即
经化简，得
∴
∴ （*）
当时，（*）式可化为 ，所以
当时，
又∵，∴（*）式可化为 ，所以此时无正整数解.
综上可知，存在满足条件的正整数、，此时，.
19. 已知函数．求函数的最小正周期、最小值和最大值；
参考答案：
解析：
函数的最小正周期、最小值和最大值分别是，，；
20. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知：l0b2cosB＝6abcosC＋3(b2＋c2－a2).
(1)求cosB；
(2)若AB＝2，D为BC边上的点，且BD＝2DC，∠ADC＝，求△ADC的面积。
参考答案：
21. 已知函数f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1﹣x）其中（a＞0且a≠1），
设h（x）=f（x）﹣g（x）．
（1）求函数h（x）的定义域，判断h（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（3）=2，求使h（x）＜0成立的x的集合．
参考答案：
【考点】函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断；对数函数的单调性与特殊点．
【专题】综合题．
【分析】（1）求函数h（x）的定义域，即是使得函数f（x），g（x）都有意义的条件，从而可得，利用函数奇偶函数的定义检验h（﹣x）与h（x）的关系可判断函数的奇偶性
（2）由f（3）=2得a=2，根据对数的运算性质可得h（x），代入解不等式即可
【解答】解：（1）由题意，得
解得﹣1＜x＜1
故h（x）的定义域为（﹣1，1）．（3分）
h（x）的定义域为（﹣1，1），关于数0对称，
且h（﹣x）=f（﹣x）﹣g（﹣x）=loga（1﹣x）﹣loga（1+x）=﹣h（x）
故h（x）为奇函数．（7分）
（2）由f（3）=2得a=2（9分）
即，
解得﹣1＜x＜0
∴所求的x的集合{x|﹣1＜x＜0}（14分）
【点评】本题综合考查了对数函数的定义域的求解，对数的运算性质，函数奇偶性的判断，对数不等式的解法，牵涉的知识比较多，但只要掌握基本知识、基本方法，问题就能迎刃而解．
22. 已知向量=（an，2n），=（2n+1，﹣an+1），n∈N*，向量与垂直，且a1=1
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=log2an+1，求数列{an?bn}的前n项和Sn．
参考答案：
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和．
【分析】（1）由向量与垂直，得2nan+1=2n+1an，∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可求an
（2）由an?bn=n?2n﹣1，则Sn=1+2×2+3×22+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1，利用错位相减法可求其和．
【解答】解：（1）∵向量与垂直，∴2nan+1﹣2n+1an=0，
即2nan+1=2n+1an，…
∴=2∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列…
∴an=2n﹣1． …
（2）∵bn=log2a2+1，∴bn=n
∴an?bn=n?2n﹣1，…
∴Sn=1+2×2+3×22+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1 …①
∴2Sn=1×2+2×22+…（n﹣1）×2n﹣1+n×2n …②…
由①﹣②得，﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n=
=（1﹣n）2n﹣1…
∴Sn=1﹣（n+1）2n+n?2n+1=1+（n﹣1）?2n．…