河北省唐山市遵化东梁子河中学高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 半径为3的球的表面积为( )
A.3π B.9π C.12π D.36π
参考答案:
D
【考点】球的体积和表面积.
【专题】计算题;方程思想;综合法;球.
【分析】根据球的表面积公式直接计算即可.
【解答】解:∵球的半径r=3,
∴球的表面积S=4π×32=36π,
故选:D.
【点评】本题主要考查球的表面积的计算,要求熟练掌握球的面积公式,比较基础.
2. (5分)如图是函数f(x)=ax、g(x)=xb、h(x)=logcx(a、c是不等于1的正实数),则a、b、c的大小关系是()
A. a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a
参考答案:
B
考点:指数函数的图像与性质;对数函数的图像与性质.
专题:计算题;数形结合.
分析:由已知中图示的函数f(x)=ax、g(x)=xb、h(x)=logcx的图象,我们结合指数函数的图象与性质,对数函数的图象与性质,幂函数的图象与性质,可以分别判断出参数a,b,c的范围,进而得到答案.
解答:由已知中可得:
函数f(x)=ax中,0<a<1
函数g(x)=xb中,b<0
函数h(x)=logcx中,c>1
故c>a>b
故选B
点评:本题考察的知识点是指数函数的图象与性质,对数函数的图象与性质,幂函数的图象与性质,熟练掌握三个基本函数中参数(底数或指数)对函数图象形状的影响是解答本题的关键.
3. 为了得到的图象,只需将的图象
A.向右平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位
参考答案:
B
略
4. 执行如图所示的程序框图,如果输出,那么判断框内应填入的条件是
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
5. 已知是偶函数,它在上是减函数,若 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 在同一平面直角坐标系中,函数的图象关于 ( )
A、直线对称 B、轴对称 C、轴对称 D、直线对称
参考答案:
C
7. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有1个黑球与都是黑球 B.至少有1个黑球与至少有1个红球
C.恰有1个黑球与恰有2个红球 D.至少有1个黑球与都是红球
参考答案:
C
8. 已知数列是等差数列,,,则前项和中最大的是( )
A. B. C.或 D. 或
参考答案:
D
略
9. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目,该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,,则该数列第16项为( )
A. 98 B. 112 C. 144 D. 128
参考答案:
D
【分析】
设该数列为,根据题中数据归纳得到,从而可求.
【详解】设该数列为,则,且,所以
,累加得到:
,故选D.
【点睛】本题考查归纳推理,属于容易题,归纳时注意相邻两个数的差的变化规律.
10. 若函数,则是( )
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知?(x)=sin (x+),若cos α=(0<α<),则f(α+)= .
参考答案:
【考点】GQ:两角和与差的正弦函数;GP:两角和与差的余弦函数.
【分析】由cos α=(0<α<),得sinα=,则f(α+)=sin(α+)=sinαcos+cosαsin即可
【解答】解:∵cos α=(0<α<),∴sinα=
f(α+)=sin(α+)=sinαcos+cosαsin=
故答案为:
12. 如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,,后,就可以计算出A、B两点的距离为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
由∠ACB与∠BAC,求出∠ABC的度数,根据sin∠ACB,sin∠ABC,以及AC的长,利用正弦定理即可求出AB的长.
【详解】分析:由∠ACB与∠BAC,求出∠ABC的度数,根据sin∠ACB,sin∠ABC,以及AC的长,利用正弦定理即可求出AB的长.
详解:在△ABC中,AC=50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,即∠ABC=30°,
则由正弦定理,
得AB=
故选:A
【点睛】解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型.
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
13. 下列四个结论中:
(1)如果两个函数都是增函数,那么这两个函数的积运算所得函数为增函数;
(2)奇函数在上是增函数,则在上为增函数;
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一个;
(4)若函数f(x)的最小值是,最大值是,则f(x)值域为。
其中正确结论的序号为 .
参考答案:
略
14. 已知集合,,设集合同时满足下列三个条件:①;②若,则;③若,则.
()当时,一个满足条件的集合是__________.(写出一个即可).
()当时,满足条件的集合的个数为__________.
参考答案:
(),(,,,任写一个)
()
()时,集合,
由①;②若,则;③若,则;可知:
当时,则,即,则,即,但元素与集合的关系不确定,故
或;
当时,则,,元素与集合的关系不确定,
故,或.
()当时,集合,
由①;②若,则;③,则,可知:
,必须同属于,此时属于的补集;或,必须同属于的补集,此时属于;
属于时,属于的补集;属于的补集,属于;而元素,没有限制.
故满足条件的集合共有个.
15. (4分)函数y=tan4x的最小正周期T= .
参考答案:
考点: 三角函数的周期性及其求法.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: 由条件根据函数y=Atan(ωx+φ)的周期为 ,可得结论.
解答: 函数y=tan4x的最小正周期T=,
故答案为:.
点评: 本题主要考查函数y=Atan(ωx+φ)的周期性,利用了函数y=Atan(ωx+φ)的周期为 ,属于基础题.
16. 如图,已知正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为边AB,DC上的动点,则的取值范围是 ▲ .
参考答案:
17. 若loga2=m,loga3=n,a2m+n= .
参考答案:
12
【考点】对数的运算性质.
【专题】计算题.
【分析】由题设条件先求出am=2,an=3,再由a2m+n=(am)2?an能够导出a2m+n的值.
【解答】解:∵loga2=m,loga3=n,
∴am=2,an=3,
∴a2m+n=(am)2?an=22?3=12.
故答案为:12.
【点评】本题考查对数的运算法则和运算性质,解题时要认真审题,仔细解答.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C对应的边,已知:l0b2cosB=6abcosC+3(b2+c2-a2).
(1)求cosB;
(2)若AB=2,D为BC边上的点,且BD=2DC,∠ADC=,求△ADC的面积。
参考答案:
19. (本小题满分12分)已知:函数
(1)求函数的周期T,与单调增区间。
(2)函数的图象有几个公共交点。
(3)设关于的函数的最小值为,试确定满足的的值,并对此时的值求的最小值。
参考答案:
1)T= 。。。。。。。1分 增区间: 。。。。。。。。。3分
2)作函数的图象,从图象可以看出函数的图象有三个交点。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
3)解:整理得:令,
则,对称轴,
当,即时,是函数g(x)的递增区间,;
当,即时,是函数的递减区间,
得,与矛盾;
当,即时,,得或,舍
,此时。 。。。。。。。。。。12分
20. 扇形AOB中心角为60°,所在圆半径为,它按如图(Ⅰ)(Ⅱ)两种方式有内接矩形CDEF.
(1)矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上,顶点E在圆弧AB上,顶点F在半径OA上,设;
(2)点M是圆弧AB的中点,矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上,且关于直线OM对称,顶点C、F分别在半径OB、OA上,设;
试研究(1)(2)两种方式下矩形面积的最大值,并说明两种方式下哪一种矩形面积最大?
参考答案:
见解析
【详解】试题分析:(1)运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和差、倍角的相对性,要注意升幂、降幂的灵活运用;(2)重视三角函数的三变:三变指变角、变名、变式;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等,适当选择公式进行变形;(3)把形如化为,可进一步研究函数的周期、单调性、最值和对称性.
试题解析: 解(1)在中,设,则
又
当即时,
(2)令与的交点为,的交点为,则,
于是,又
当即时,取得最大值.
,(1)(2)两种方式下矩形面积的最大值为方式一:
考点:把实际问题转化为三角函数求最值问题.
21. (12分)设角α∈(0,),f(x)的定义域为[0,1],f(0)=0,f(1)=1,当x≥y时,有f()=f(x)sinα+(1﹣sinα)f(y)
(1)求f()、f()的值;
(2)求α的值;(3)设g(x)=4sin(2x+α)﹣1,且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间.
参考答案:
考点: 抽象函数及其应用;三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
专题: 函数的性质及应用;三角函数的图像与性质.
分析: (1)令x=1、y=0代入可得f();令x=、y=0代入可得f(),
(2))令x=1、y=代入可得f(),再利用第(1)问的结果;
(3))由lgg(x)>0,得g(x)>1,进一步不等式化为,结合正弦曲线求出单调区间.
解答: (1)
(2)
∴sinα=3sin2α﹣2sin3α,解得sinα=0或sinα=1或sinα=
∵α∈(0,),
∴sinα=,α=
(3)∵lgg(x)>0,∴g(x)>1,
∴
∴sin(2x+)>,∴+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z
由函数图象可知,g(x)的递增区间为+2kπ≤2x+≤+2kπ,∴kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故递增区间为[kπ,+kπ](k∈Z);
g(x)的递减区间为+2kπ≤2x+≤+2kπ,∴+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故递减区间为[+kπ,+kπ](k∈Z).
点评: 本题主要考查抽象函数的性质,同时考查三角函数的内容,本题根据抽象函数所