河北省唐山市遵化东梁子河中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 半径为3的球的表面积为（　　） A．3π B．9π C．12π D．36π 参考答案： D 【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题；方程思想；综合法；球． 【分析】根据球的表面积公式直接计算即可． 【解答】解：∵球的半径r=3， ∴球的表面积S=4π×32=36π， 故选：D． 【点评】本题主要考查球的表面积的计算，要求熟练掌握球的面积公式，比较基础． 2. （5分）如图是函数f（x）=ax、g（x）=xb、h（x）=logcx（a、c是不等于1的正实数），则a、b、c的大小关系是（） A． a＞b＞c    B．c＞a＞b    C．b＞a＞c    D．c＞b＞a 参考答案： B 考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质． 专题：计算题；数形结合． 分析：由已知中图示的函数f（x）=ax、g（x）=xb、h（x）=logcx的图象，我们结合指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质，幂函数的图象与性质，可以分别判断出参数a，b，c的范围，进而得到答案． 解答：由已知中可得： 函数f（x）=ax中，0＜a＜1 函数g（x）=xb中，b＜0 函数h（x）=logcx中，c＞1 故c＞a＞b 故选B 点评：本题考察的知识点是指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质，幂函数的图象与性质，熟练掌握三个基本函数中参数（底数或指数）对函数图象形状的影响是解答本题的关键． 3. 为了得到的图象，只需将的图象   A．向右平移个长度单位    B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位    D．向左平移个长度单位 参考答案： B 略 4. 执行如图所示的程序框图，如果输出，那么判断框内应填入的条件是           A、        B、     C、       D、 参考答案： B 5. 已知是偶函数，它在上是减函数，若 ，则 的取值范围是（    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： B 6. 在同一平面直角坐标系中，函数的图象关于        （     ） A、直线对称   B、轴对称   C、轴对称    D、直线对称 参考答案： C 7.    从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有１个黑球与都是黑球　　　　 B．至少有１个黑球与至少有１个红球 C．恰有１个黑球与恰有２个红球　　　 D．至少有１个黑球与都是红球 参考答案： C 8. 已知数列是等差数列，，，则前项和中最大的是（    ） A． B． C．或 D． 或 参考答案： D 略 9. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则该数列第16项为（    ） A. 98 B. 112 C. 144 D. 128 参考答案： D 【分析】 设该数列为，根据题中数据归纳得到，从而可求. 【详解】设该数列为，则，且，所以 ，累加得到： ，故选D. 【点睛】本题考查归纳推理，属于容易题，归纳时注意相邻两个数的差的变化规律. 10. 若函数，则是（   ） A.最小正周期为的奇函数     B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为的偶函数     D.最小正周期为的偶函数 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知?（x）=sin （x+），若cos α=（0＜α＜），则f（α+）=　    　． 参考答案： 【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数． 【分析】由cos α=（0＜α＜），得sinα=，则f（α+）=sin（α+）=sinαcos+cosαsin即可 【解答】解：∵cos α=（0＜α＜），∴sinα= f（α+）=sin（α+）=sinαcos+cosαsin= 故答案为： 12. 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，，后，就可以计算出A、B两点的距离为（　　） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 由∠ACB与∠BAC，求出∠ABC的度数，根据sin∠ACB，sin∠ABC，以及AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长． 【详解】分析：由∠ACB与∠BAC，求出∠ABC的度数，根据sin∠ACB，sin∠ABC，以及AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长． 详解：在△ABC中，AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，即∠ABC=30°， 则由正弦定理， 得AB= 故选：A 【点睛】解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 13. 下列四个结论中： （1）如果两个函数都是增函数，那么这两个函数的积运算所得函数为增函数； （2）奇函数在上是增函数，则在上为增函数； （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一个； （4）若函数f(x)的最小值是，最大值是，则f(x)值域为。 其中正确结论的序号为         . 参考答案： 略 14. 已知集合，，设集合同时满足下列三个条件：①；②若，则；③若，则． （）当时，一个满足条件的集合是__________．（写出一个即可）． （）当时，满足条件的集合的个数为__________． 参考答案： （），（,，，任写一个） （） （）时，集合， 由①；②若，则；③若，则；可知： 当时，则，即，则，即，但元素与集合的关系不确定，故 或； 当时，则，，元素与集合的关系不确定， 故，或． （）当时，集合， 由①；②若，则；③，则，可知： ，必须同属于，此时属于的补集；或，必须同属于的补集，此时属于； 属于时，属于的补集；属于的补集，属于；而元素，没有限制． 故满足条件的集合共有个． 15. （4分）函数y=tan4x的最小正周期T=     ． 参考答案： 考点： 三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由条件根据函数y=Atan（ωx+φ）的周期为 ，可得结论． 解答： 函数y=tan4x的最小正周期T=， 故答案为：． 点评： 本题主要考查函数y=Atan（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Atan（ωx+φ）的周期为 ，属于基础题． 16. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为边AB，DC上的动点，则的取值范围是      ▲      ． 参考答案： 17. 若loga2=m，loga3=n，a2m+n=       ． 参考答案： 12 【考点】对数的运算性质． 【专题】计算题． 【分析】由题设条件先求出am=2，an=3，再由a2m+n=（am）2?an能够导出a2m+n的值． 【解答】解：∵loga2=m，loga3=n， ∴am=2，an=3， ∴a2m+n=（am）2?an=22?3=12． 故答案为：12． 【点评】本题考查对数的运算法则和运算性质，解题时要认真审题，仔细解答． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知：l0b2cosB＝6abcosC＋3(b2＋c2－a2). (1)求cosB； (2)若AB＝2，D为BC边上的点，且BD＝2DC，∠ADC＝，求△ADC的面积。 参考答案： 19. （本小题满分12分）已知：函数 （1）求函数的周期T，与单调增区间。 （2）函数的图象有几个公共交点。 （3）设关于的函数的最小值为，试确定满足的的值，并对此时的值求的最小值。 参考答案： 1）T=   。。。。。。。1分     增区间：  。。。。。。。。。3分 2）作函数的图象，从图象可以看出函数的图象有三个交点。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 3）解：整理得：令， 则，对称轴， 当，即时，是函数g(x)的递增区间，； 当，即时，是函数的递减区间， 得，与矛盾； 当，即时，，得或，舍 ，此时。  。。。。。。。。。。12分 20. 扇形AOB中心角为60°，所在圆半径为，它按如图(Ⅰ)(Ⅱ)两种方式有内接矩形CDEF． (1)矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设； (2)点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设； 试研究(1)(2)两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？ 参考答案： 见解析 【详解】试题分析：(1)运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用；（2）重视三角函数的三变：三变指变角、变名、变式；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等，适当选择公式进行变形；（3）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性、最值和对称性. 试题解析： 解（1）在中，设，则 又 当即时， （2）令与的交点为，的交点为，则， 于是，又 当即时，取得最大值. ,（1）（2）两种方式下矩形面积的最大值为方式一： 考点：把实际问题转化为三角函数求最值问题. 21. （12分）设角α∈（0，），f（x）的定义域为[0，1]，f（0）=0，f（1）=1，当x≥y时，有f（）=f（x）sinα+（1﹣sinα）f（y） （1）求f（）、f（）的值； （2）求α的值；（3）设g（x）=4sin（2x+α）﹣1，且lgg（x）＞0，求g（x）的单调区间． 参考答案： 考点： 抽象函数及其应用；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 专题： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质． 分析： （1）令x=1、y=0代入可得f（）；令x=、y=0代入可得f（）， （2））令x=1、y=代入可得f（），再利用第（1）问的结果； （3））由lgg（x）＞0，得g（x）＞1，进一步不等式化为，结合正弦曲线求出单调区间． 解答： （1） （2） ∴sinα=3sin2α﹣2sin3α，解得sinα=0或sinα=1或sinα= ∵α∈（0，）， ∴sinα=，α= （3）∵lgg（x）＞0，∴g（x）＞1， ∴ ∴sin（2x+）＞，∴+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z 由函数图象可知，g（x）的递增区间为+2kπ≤2x+≤+2kπ，∴kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故递增区间为[kπ，+kπ]（k∈Z）； g（x）的递减区间为+2kπ≤2x+≤+2kπ，∴+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故递减区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）． 点评： 本题主要考查抽象函数的性质，同时考查三角函数的内容，本题根据抽象函数所