专题09 函数的最值
考点一 求已知函数的最值
【方法总结】
导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤
(1)求函数f(x)的导数f′(x);
(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值;
(3)求f(x)在给定区间上的端点值;
(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较,确定f(x)的最大值与最小值;
(5)反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范.
【例题选讲】
[例1](1)函数f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为________.
答案 -1 解析 f′(x)=-1,令f′(x)=0得x=1.当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,e]时,f′(x)<0.∴当x=1时,f(x)取得最大值,且f(x)max=f(1)=ln 1-1=-1.
(2)函数f(x)=x2+x-2lnx的最小值为 .
答案 解析 因为f′(x)=x+1-=(x>0),所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(1)=+1=.
(3)已知函数f(x)=x3+mx2+nx+2,其导函数f′(x)为偶函数,f(1)=-,则函数g(x)=f′(x)ex在区间[0,2]上的最小值为 .
答案 -2e 解析 由题意可得f′(x)=x2+2mx+n,∵f′(x)为偶函数,∴m=0,故 f(x)=x3+nx+2,∵f(1)=+n+2=-,∴n=-3.∴f(x)=x3-3x+2,则f′(x)=x2-3.故g(x)=ex(x2-3),则g′(x)=ex(x2-3+2x)=ex(x-1)·(x+3),据此可知函数g(x)在区间[0,1)上单调递减,在区间(1,2]上单调递增,故函数g(x)的极小值,即最小值为g(1)=e1·(12-3)=-2e.
(4)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是________.
答案 - 解析 ∵f(x)的最小正周期T=2π,∴求f(x)的最小值相当于求f(x)在[0,2π]上的最小值.f′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)=4cos2x+2cosx-2=2(2cosx-1)(cosx+1).令f′(x)=0,解得cosx=或cosx=-1,x∈[0,2π].∴由cosx=-1,得x=π;由cosx=,得x=π或x=.∵函数的最值只能在导数值为0的点或区间端点处取到,f(π)=2sinπ+sin2π=0,f =2sin+sin=,f =-,f(0)=0,f(2π)=0,∴f(x)的最小值为-.
(5)设正实数x,则f(x)=的值域为________.
答案 解析 令ln x=t,则x=et,∴g(t)=,令t2=m,m≥0,∴h(m)=,∴h′(m)=,令h′(m)=0,解得m=1,当0≤m<1时,h′(m)>0,函数h(m)单调递增,当m≥1时,h′(m)<0,函数h(m)单调递减,∴h(m)max=h(1)=,∵f(0)=0,当m→+∞时,h(m)→0,∴f(x)=的值域为.
(6)已知函数f(x)=elnx和g(x)=x+1的图象与直线y=m的交点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1-x2的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.[2,+∞) C. D.
答案 A 解析 由题意知f(x1)=g(x2),所以eln x1=x2+1,即x2=eln x1-1,则x1-x2=x1-eln x1+1,x1>0.令h(x)=x-eln x+1(x>0),则h′(x)=1-=.当x>e时,h′(x)>0,当0
0),则φ′(x)=,当x∈(0,1)时,φ′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,φ′(x)>0,∴φ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴φ(x)min=φ(1)=e-1,∴k≤e-1.
(8)(多选)设函数f(x)=,则下列选项正确的是( )
A.f(x)为奇函数 B.f(x)的图象关于点(0,1)对称
C.f(x)的最大值为+1 D.f(x)的最小值为-+1
答案 BCD 解析 f(x)=+1,不满足f(-x)=-f(x),故A项错误;令g(x)=,则g(-x)===-g(x),所以g(x)为奇函数,则f(x)关于点(0,1)对称,B项正确;设f(x)=+1的最大值为M,则g(x)的最大值为M-1,设f(x)=+1的最小值为N,则g(x)的最小值为N-1,当x>0时,g(x)=,所以g′(x)=,当0<x<1时,g′(x)>0,当x>1时,g′(x)<0,所以当0<x<1时,g(x)单调递增,当x>1时,g(x)单调递减,所以g(x)在x=1处取得最大值,最大值为g(1)=,由于g(x)为奇函数,所以g(x)在x=-1处取得最小值,最小值为g(-1)=-,所以f(x)的最大值为M=+1,最小值为N=-+1,故C、D项正确.故选B、C、D.
[例2] 已知函数f(x)=excos x-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
解析 (1)因为f(x)=excos x-x,所以f′(x)=ex(cos x-sin x)-1,f′(0)=0.
又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则h′(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.
当x∈时,h′(x)<0,所以h(x)在区间上单调递减.
所以对任意x∈,有h(x)<h(0)=0,即f′(x)<0.所以函数f(x)在区间上单调递减.
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f=-.
[例3] (2017·浙江)已知函数f(x)=(x-)e-x.
(1)求f(x)的导函数;
(2)求f(x)在区间上的取值范围.
解析 (1)f′(x)=(x-)′e-x+(x-)(e-x)′=e-x-(x-)e-x
=e-x=(1-x)e-x.
(2)令f′(x)=(1-x)e-x=0,解得x=1或.
当x变化时,f(x),f′(x)的变化如下表:
x
1
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
e-
0
e-
又f=e-,f(1)=0,f=e-,则f(x)在区间上的最大值为e-.
又f(x)=(x-)e-x=(-1)2e-x≥0.
综上,f(x)在区间上的取值范围是.
[例4] (2021·北京)已知函数f(x)=.
(1)若a=0,求y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间,以及最大值和最小值.
解析 (1)当a=0时,f(x)=,则f′(x)==.
当x=1时,f(1)=1,f′(1)=-4,
故y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=-4(x-1),整理得4x+y-5=0.
(2)已知函数f(x)=,则f′(x)==.
若函数f(x)在x=-1处取得极值,则f′(-1)=0,即=0,解得a=4.
经检验,当a=4时,x=-1为函数f(x)的极大值,符合题意.
此时f(x)=,其定义域为R,f′(x)=,
令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=4.f(x),f′(x)随x的变化趋势如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,4)
4
(4,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(4,+∞),单调递减区间为(-1,4).
由上表知f(x)的极大值为f(-1)=1,极小值为f(4)=-.
又因为x<时,f(x)>0;x>时,f(x)<0,
所以函数f(x)的最大值为f(-1)=1,最小值为f(4)=-.
[例5] 已知函数f(x)=
(1)求f(x)在区间(-∞,1)上的极小值和极大值;
(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值.
解析 (1)当x<1时,f′(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),
令f′(x)=0,解得x=0或x=.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
极小值
极大值
故当x=0时,函数f(x)取到极小值,极小值为f(0)=0,
当x=时,函数f(x)取到极大值,极大值为f=.
(2)①当-1≤x<1时,根据(1)知,函数f(x)在[-1,0)和上单调递减,在上单调递增.
因为f(-1)=2,f=,f(0)=0,所以f(x)在[-1,1)上的最大值为2.
②当1≤x≤e时,f(x)=aln x,当a≤0时,f(x)≤0;
当a>0时,f(x)在[1,e]上单调递增.则f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=a.
故当a≥2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为a;
当a<2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为2.
【对点训练】
1.函数y=在[0,2]上的最大值是( )
A. B. C.0 D.
1.答案 A 解析 易知y′=,x∈[0,2],令y′>0,得0≤x<1,令y′<0,得1<x≤2,所以函数y
=在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减,所以y=在[0,2]上的最大值是ymax=,故选A.
2.函数f(x)=2x-lnx的最小值为________.
2.答案 1+ln 2 解析 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2-=,当0时,
f′(x)>0.∴f(x)在上单调递减,在上单调递增,∴f(x)min=f =1-ln =1+ln 2.
3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是( )
A.-37 B.-29 C.-5 D.以上都不对
3.答案 A 解析 ∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),∴f(x)在(-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,∴
x=0为极大值点,也为最大值点,∴f(0)=m=3,∴m=3.∴f(-2)=-37,f(2)=-5.∴最小值是-37.故选A.
4.已知函数f(x)=x+2sinx,x∈[0,2π],则f(x)的值域为( )
A. B. C. D.[0,2π]
4.答案 D 解析 f′(x)=1+2cosx,x∈[0,2π],令f′(x)=0,得cosx=-,∴x=或x=,又f
=+,f =-,f(0)=0,f(2π)=2π,f -f =-2<0,∴f(0)
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