河北省张家口市新保安第一中学2022-2023学年高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (5分)圆(x﹣2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是()
A. (﹣2,3),1 B. (2,﹣3),3 C. (﹣2,3), D. (2,﹣3),
参考答案:
D
考点: 圆的标准方程.
专题: 计算题;直线与圆.
分析: 根据圆的标准方程,即可写出圆心坐标和半径.
解答: ∵圆的标准方程为(x﹣2)2+(y+3)2=2
∴圆的圆心坐标和半径长分别是(2,﹣3),
故选D.
点评: 本题考查圆的标准方程,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.
2. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,那么
角的大小等于( )
A. B.或 C. D.
参考答案:
A
3. 四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且,则直线PB与平面PAC所成角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
连接交于点,连接,证明平面,进而可得到即是直线与平面所成角,根据题中数据即可求出结果.
【详解】连接交于点,
因为平面,底面是正方形,
所以,,因此平面;故平面;
连接,则即是直线与平面所成角,
又因,所以,.
所以,所以.
故选A
【点睛】本题主要考查线面角的求法,在几何体中作出线面角,即可求解,属于常考题型.
4. 小华到某文具店想买2支钢笔或3支圆珠笔,现知6支钢笔和3支圆珠笔的价格之和大于24元,而4支钢笔和5支圆珠笔的价格之和小于22元,若设2支钢笔的价格为元,3支圆珠笔的价格为元,则 ( )
A. B. C. D.不确定
参考答案:
A
5. 已知平面向量=(2,-1),=(1,1),=(-5,1),若∥,则实数k的值为( )
A.2 B. C. D.
参考答案:
【知识点】平面向量共线(平行)的坐标表示.
B 解:∵=(2,-1),=(1,1),
∴=(2,-1)+k(1,1)=(2+k,k-1),又
=(-5,1),且∥,,
∴1×(2+k)-(-5)×(k-1)=0,解得:k=.
故选:B.
【思路点拨】直接由向量的数乘及坐标加法运算求得的坐标,然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解k的值.
6. 在等差数列中,,则的值为( )
A.10 B.12 C.14 D.16
参考答案:
C
7. 已知(e是自然对数的底数),则a,b,c之间的大小关系是
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
因为,所以,,
. 故选A.
8. 若a=log3π,b=log76,c=log20.8,则( )
A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a
参考答案:
A
【考点】对数函数的单调性与特殊点.
【分析】根据π>3,6<7,2>1,0.8<1,可知log3π>1,0<log76<1,log20.8<0,进而比较出大小.
【解答】解:∵log3π>1,0<log76<1,log20.8<0
∴a>b>c
故选A.
【点评】本题主要考查对数函数的性质及图象.是高考的热点.
9. 已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点,且有,那么 的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 函数,则=( )
A. B. C. D. 0
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是奇函数,且当时,,那么=_______________。
参考答案:
-1
12. 若幂函数y=f(x)的图象过点(9,3),则f(25)的值 .
参考答案:
5
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【专题】计算题.
【分析】利用幂函数的概念求得y=f(x)的解析式,代入计算即可求得f(25)的值.
【解答】解:∵y=f(x)为幂函数,
∴设f(x)=xα,
∵y=f(x)的图象过点(9,3),
∴9α=32α=3,
∴α=,
∴f(x)=,
∴f(25)=5.
故答案为:5.
【点评】本题考查幂函数的概念,考查理解并应用幂函数的概念解决问题的能力,属于基础题.
13. 函数的定义域为 .
参考答案:
(0,1]
【考点】对数函数的定义域;函数的定义域及其求法.
【专题】计算题.
【分析】根据偶次根式下大于等于0,对数的真数大于0建立不等式组,解之即可求出所求.
【解答】解:要使函数有意义则
由 ?0<x≤1
故答案为:(0,1].
【点评】本题主要考查了对数函数的定义域,以及根式函数的定义域和不等式组的解法,属于基础题.
14. 计算: .
参考答案:
7
15. 已知常数,若函数在R上恒有,且
,则函数在区间[-5,14]上零点的个数
是________.
参考答案:
15
【分析】
根据可得函数周期,作出函数一个周期上的图象,利用数形结合即可求解.
【详解】 函数在上恒有,
,
函数周期为4.
常数,
,
函数在区间上零点,即函数与直线及直线之间的直线的交点个数.
由,可得函数 一个周期内的图象,做草图如下:
由图可知,在一个周期内,函数有3个零点,
故函数在区间上有15个零点.
故填15
【点睛】本题主要考查了函数零点的个数判断,涉及数形结合思想在解题中的运用,属于难题.
16. 已知平面上共线的三点A,B,C和定点O,若等差数列{an}满足: =a15+a24,则数列{an}的前38项之和为 .
参考答案:
19
【考点】数列的求和.
【分析】由向量共线定理可得a15+a24=1.于是a1+a38=1.代入求和公式得出答案.
【解答】解:∵A,B,C三点共线,∴a15+a24=1.
∴a1+a38=a15+a24=1.
∴S38==19.
故答案为:19.
【点评】本题考查了向量共线定理,等差数列的性质与求和公式,属于中档题.
17. 空间不共线的四个点可确定 个平面;
参考答案:
一个或四个
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (10分)(1)已知 , 求的值
(2)求值
参考答案:
(1)8;(2).
19. 已知集合.
(1)若从集合A中任取两个不同的角,求至少有一个角为钝角的概率;
(2)记,求从集合A中任取一个角作为的值,且使用关于x的一元二次方程有解的概率.
参考答案:
解:(1);
(2)方程有解,
即.
又,
∴,
即. 即,
不难得出:若为锐角,;若为钝角,,
∴必为锐角, .
20. 如图,已知PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,M、N分别为AB、PC的中点,.
(1)求证:MN ∥平面PAD;
(2)求证:面MPC⊥平面PCD;
(3)求点到平面的距离.
参考答案:
(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【分析】
(1)利用线面平行的判定定理,寻找面PAD内的一条直线平行于MN,即可证出;(2)先证出一条直线垂直于面PCD,依据第一问结论知,MN也垂直于面PCD,利用面面垂直的判定定理即可证出;
(3)依据等积法,即可求出点到平面的距离。
【详解】证明:(1)取中点为,连接分别为的中点,
是平行四边形,
平面,平面,∴平面
证明:(2)因为平面,所以,而,
面PAD,而面 ,所以,
由,为的终点,所以
由于平面,又由(1)知,
平面,平面,∴平面平面
解:(3),
,,
则点到平面的距离为
(也可构造三棱锥)
【点睛】本题主要考查线面平行、面面垂直的判定定理以及等积法求点到面的距离,意在考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算能力。
21. 如图,现在要在一块半径为1m。圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在AB弧上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设的面积为S。
(1) 求S关于的函数关系式;
(2) 求S的最大值及相应的值
参考答案:
22.
参考答案: