2022-2023学年湖北省荆门市胡集职业中学高三数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=( )
A.{3,0} B.{3,0,1} C.{3,0,2} D.{3,0,1,2}
参考答案:
B
【考点】并集及其运算.
【分析】根据集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},则log2a=0,b=0,从而求得P∪Q.
【解答】解:∵P∩Q={0},
∴log2a=0
∴a=1
从而b=0,P∪Q={3,0,1},
故选B.
2. 已知均为单位向量,它们的夹角为60°,那么,等于 ( )
A. B. C. D. 4
参考答案:
C
略
3. 已知奇函数是定义在R上的可导函数,其导函数为,当时,有,则不等式的解集为( )
A. (-∞,-2016) B. (-2016,-2012) C. (-∞,-2018) D. (-2016,0)
参考答案:
A
【分析】
构造新函数,根据条件可得是奇函数,且单调增,将所求不等式化为,即,解得,即
【详解】设,
因为为R上奇函数,
所以,
即为上奇函数
对求导,得,
而当时,有
故时,,即单调递增,
所以在R上单调递增
不等式
,
即
所以,解得
故选A项.
【点睛】本题考查构造函数解解不等式,利用导数求函数的单调性,函数的奇偶性,题目较综合,有一定的技巧性,属于中档题.
4. 在面积为6的Rt△ABC中,,在上的投影为3,
P为线段AB上的动点,且满足 则的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
略
5. 若实数x,y满足约束条件,则的取值范围是( )
A. [-1,1] B. [-1,10] C. [1,12] D. [-1,12]
参考答案:
B
【分析】
画出约束条件表示的可行域,求目标函数的范围转化为求直线的截距范围求解即可.
【详解】约束条件 的可行域如下图(阴影部分)
联立 可得
可得
设,则 ,
作出直线,平移可知在 取得最小值,在取得最大值,
代入可得,
故答案为B
【点睛】本题考查线性规划问题,属于基础题,同时体现数形结合在解题中的重要性.
6. 已知向量,若与平行,则实数x的值是( )
A.﹣2 B.0 C.1 D.2
参考答案:
D
【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量的坐标运算.
【专题】计算题.
【分析】由题意分别可得向量与的坐标,由向量平行的充要条件可建立关于x的方程,解之即可.
【解答】解:由题意可得=(3,x+1),=(﹣1,1﹣x),
因为与平行,所以3×(1﹣x)﹣(x+1)×(﹣1)=0,
解得x=2
故选D
【点评】本题为向量平行的问题,熟练应用向量平行的充要条件是解决问题的关键,属基础题.
7. 已知是两条不同直线,是三个不同平面,则下列命题正确的是
A.若,则 B.若,则∥
C.若,则 D.若,则∥
参考答案:
D
8. 在的展开式中,含项的系数是n,若,则
(A)0 (B)1 (C) -1 (D)
参考答案:
B
9. 命题“”的否定是
(A)
(B)
(C)
(D)
参考答案:
D
略
10. 已知函数y=f(x)的导函数为f′(x),且,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】导数的运算.
【专题】导数的概念及应用.
【分析】先根据导数的运算法则求导,再代入值计算即可.
【解答】解:∵,
∴f′(x)=2f′()x+cosx,
∴f′()=2f′()×+cos,
解得f′()=,
故选:A
【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值的求法,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数图象的对称中心是,则正数的最小值是______.
参考答案:
12. 若,则 .
参考答案:
13. ( 5分)(2014秋?淮安期中)等比数列{an}的公比大于1,a5﹣a1=15,a4﹣a2=6,则a3= .
参考答案:
4
考点: 等比数列的通项公式.
专题: 等差数列与等比数列.
分析: 根据等比数列的通项公式为an=a1qn﹣1求出a1和q得到通项公式即可求出a3.
解答: 解:∵等比数列的通项公式为an=a1qn﹣1由a5﹣a1=15,a4﹣a2=6得:
a1q4﹣a1=15,a1q3﹣a1q=6解得:q=2或q=
则a3=a1q2=4或﹣4
∵等比数列{an}的公比大于1,
则a3=a1q2=4
故答案为4
点评: 考查学生利用等比数列性质的能力.
14. 函数的定义域为,若且时总有,则称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:①函数是单函数;②函数是单函数;③若为单函数,且,则;④函数在定义域内某个区间上具有单调性,则一定是单函数.其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号).
参考答案:
③
略
15. 已知函数y=f(x﹣1)+x2是定义在R上的奇函数,且f(0)=﹣1,若g(x)=1﹣f(x+1),则g(﹣3)= .
参考答案:
2
【考点】3L:函数奇偶性的性质.
【专题】51 :函数的性质及应用.
【分析】根据函数y=f(x﹣1)+x2是定义在R上的奇函数,以及g(x)=1﹣f(x+1)的关系建立条件关系即可求解.
【解答】解:设y=F(x)=f(x﹣1)+x2,
∵y=f(x﹣1)+x2是定义在R上的奇函数,
∴F(0)=f(﹣1)+0=0,
∴f(﹣1)=0.
F(1)=f(0)+1=﹣1+1=0,
又F(﹣1)=f(﹣2)+1=﹣F(1)=0,
∴f(﹣2)=﹣1,
∵g(x)=1﹣f(x+1),
∴当x=﹣3时,g(﹣3)=1﹣f(﹣3+1)=1﹣f(﹣2)=1﹣(﹣1)=2.
故答案为:2.
16. 已知,.若或 ,则的取值范围是 .
参考答案:
17. 将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆,则此圆锥的体积为________
参考答案:
【分析】
设圆锥的底面半径为,母线长为,高为,根据圆锥底面圆周长等于展开后半圆的弧长得出,由题意得出,再由勾股定理得出的值,最后利用锥体的体积公式计算出圆锥的体积.
【详解】设圆锥的底面半径为,母线长为,高为,则,
由题意可知,,,由勾股定理得,
因此,该圆锥的体积为,故答案为:.
【点睛】本题考查圆锥体积的计算,涉及圆锥的侧面展开图问题,解题时要注意扇形弧长等于圆锥底面圆周长这一条件的应用,考查空间想象能力,属于中等题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)已知函数在上有两个极值点,且.
(Ⅰ)求实数的取值范围;
(Ⅱ)证明:.
参考答案:
(Ⅰ),由题意知方程在上有两不等实根,设,其图象的对称轴为直线,故有
,解得…………………………5分
( 构造利用图象解照样给分)
(Ⅱ)由题意知是方程的大根,从而且有,即,这样
…………………………9分
设,=0,解得,由,;,;,知,
在单调递增,又,从而,
即成立。…………………………13分
(Ⅱ)另解:由题意知是方程的大根,从而,由于
,,……………9分
设,,
h(x)在递增,,即成立。……………13分
19. 在一次数学测验后,班级学习委员王明对选做题的选题情况进行了统计,如下表:(单位:人)
几何证明选讲
坐标系与参数方程
不等式选讲
合计
男同学
12
4
6
22
女同学
0
8
12
20
合计
12
12
18
42
(Ⅰ)在统计结果中,如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类,把《不等式选讲》称为代数类,我们可以得到如下2×2列联表:(单位:人)
几何类
代数类
总计
男同学
16
6
22
女同学
8
12
20
总计
24
18
42
据此判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关?
(Ⅱ)在原统计结果中,如果不考虑性别因素,按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈.已知学习委员王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中.
①求在这名班级学习委员被选中的条件下,两名数学科代表也被选中的概率;
②记抽到数学科代表的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).
下面临界值表仅供参考:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式:.
参考答案:
20. 已知函数,.
(Ⅰ)设函数F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2,求F(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)设,解关于x的方程;
(Ⅲ)设,证明:.
参考答案:
本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.
解:(Ⅰ),
.
令,得(舍去).
当时.;当时,,
故当时,为增函数;当时,为减函数.
为的极大值点,且.
(Ⅱ)方法一:原方程可化为,
即为,且
①当时,,则,即,
,此时,∵,
此时方程仅有一解.
②当时,,由,得,,
若,则,方程有两解;
若时,则,方程有一解;
若或,原方程无解.
方法二:原方程可化为,
即,
①当时,原方程有一解;
②当时,原方程有二解;
③当时,原方程有一解;
④当或时,原方程无解.
(Ⅲ)由已知得,
.
设数列的前n项和为,且()
从而有,当时,.
又
.
即对任意时,有,又因为,所以.
则,故原不等式成立.
21. 已知二次函数的图象经过点、与点,设函数
在和处取到极值,其中,。
(1)求的二次项系数的值;
(2)比较的大小(要求按从小到大排列);
(3)若,且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线均相切,求。
参考答案:
解:(1)由题意可设,
又函数图象经过点,则,得.……… 2分
(2)由(1)可得。
所以,
, ………… 4分
函数在和处取到极值,
故, ………… 5分
,
………… 7分
又,故。 …… 8分
(3)设切点,则切线的斜率
又,所以切线的方程是
…… 9分
又切线过原点,故
所以,解得,或。 ………… 10分
两条切线的斜率为,,
由,得,,
,
………………………… 12分
所以,
又两条切线垂直,故,所以上式等号成立,有,且。
所以。 ………… 14分
22. 已知数