2022年广东省河源市附城职业中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 复数(是虚数单位)的虚部为( )
A. B.1 C. D.-1
参考答案:
B
由题意,,选B.
2. 在数列中, , ,且(),则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是
A.210 B.10 C.50 D.90
参考答案:
C
3. 如图所示的程序框图,运行程序后,输出的结果等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
参考答案:
D
【考点】EF:程序框图.
【分析】列出循环过程中s与a,n的数值,不满足判断框的条件即可结束循环.
【解答】解:第1步:s=2,a=,
第2步:n=2,s=,a=,
第3步:n=3,s=>3,
结束循环,输出n=3,
故选:D.
4. 已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得,该几何体三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
由三视图可知正方体边长为,截去部分为三棱锥,
作出几何体的直观图如图所示,故该几何体的表面积为:,故选B.
5. 设抛物线x2=2py (P>0),M为直线y=﹣2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B,A,B,M的横坐标分别为XA,XB,XM则( )
A.XA+XB=2XM B.XA?XB=X
C. += D.以上都不对
参考答案:
A
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】设出A,B的坐标,对抛物线的方程进行求导,求得AM和BM的斜率,因此可表示出MA的直线方程和直线MB的方程,联立求得2xM=xA+xB,即可得出结论.
【解答】解:由x2=2py得y=,得y′=,
所以直线MA的方程为y+2p=(x﹣xM),直线MB的方程为y+2p=(x﹣xM),
所以, +2p=(xA﹣xM)①, +2p=(xB﹣xM)②
由①、②得2xM=xA+xB.
故选A.
6. 已知命题,命题,则( )
A.命题是假命题 B.命题是真命题
C.命题是真命题 D.命题是假命题
参考答案:
C
略
7. 已知椭圆,是椭圆上关于原点对称的两点,是椭圆上任意一点,且直线的斜率分别为,若,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 已知是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)内单调递减,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【分析】
根据奇偶性可知,通过对数函数单调性可知,进而根据在上单调递减得到大小关系.
【详解】为定义在上的偶函数
且在上单调递减
,即
本题正确选项:
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小关系,关键是能够利用奇偶性将自变量化到同一个单调区间内,进而根据单调性得到函数值的大小关系.
9. 某交高三年级有男生500人,女生400人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是
(A)简单随机抽样法 (B)抽签法 (C)随机数表法 (D)分层抽样法
参考答案:
D 【解析】本小题主要考查抽样方法。若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样。故选D。
10. 已知向量=(1,2),=(x+1,﹣x),且⊥,则x=( )
A.1 B.2 C. D.0
参考答案:
A
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【专题】计算题.
【分析】本题考查知识点是两个平面向量的垂直关系,由⊥,且=(1,2),=(x+1,﹣x),我们结合“两个向量若垂直,对应相乘和为0”的原则,易得到一个关于x的方程,解方程即可得到答案.
【解答】解:∵⊥,
∴?=0,
即x+1﹣2x=0,
x=1.
故答案选A.
【点评】判断两个向量的关系(平行或垂直)或是已知两个向量的关系求未知参数的值,要熟练掌握向量平行(共线)及垂直的坐标运算法则,即“两个向量若平行,交叉相乘差为0,两个向量若垂直,对应相乘和为0”.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.若两颗星的星等与亮度满足.其中星等为,星的亮度为.(1)若,则________;(2)若太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.5,则太阳与天狼星的亮度的比值为_______.
参考答案:
6; .
【分析】
(1)把已知数据代入中,求解即可;
(2)把数据代入,化简后利用对数的运算性质求解.
【详解】解:(1)把代入中,得到.
(2)设太阳的星等是,设天狼星的星等是,
由题意可得:,
所以,则.
故答案为:6;.
【点睛】本题考查对数的运算性质,属于基础题.
12. 20世纪30年代,里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用地震仪测量地震能量的等级,地震能量越大,地震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为:,其中A是被测地震的最大振幅,是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).假设在一次地震中,一个距离震中100km的测震仪记录的最大振幅是20,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为 (精确到0.1,已知).
参考答案:
4.3
13. 将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次,朝上的点数依次为和, 则且的概率是____ ___ .
参考答案:
一颗质地均匀的骰子连续投掷两次有36种结果。若且,则有,共8种,所以且的概率是。
14. 变量,满足条件,求的最大值为 .
参考答案:
略
15. (文)已知向量则的最大值为_________.
参考答案:
3
,所以当时,有最大值,所以的最大值为3.
16. 已知实数满足约束条件 ,若的最小值为3,实数= .
参考答案:
【答案解析】解析:实数满足约束条件表示的平面区域如图为阴影部分对应的区域,显然当动直线2x+y=0经过点B时目标函数得最小值3,联立方程 解得B点坐标为,所以.
.
【思路点拨】解简单的线性规划问题,一般先作出其可行域,再数形结合找其最优解,即可解答.
17. 已知数列{an}为1,3,7,15,31,…,2n﹣1,数列{bn}满足b1=1,bn=an﹣an﹣1,则数列的前n﹣1项和Sn﹣1为 .
参考答案:
2﹣22﹣n(n≥2)
【考点】8E:数列的求和.
【分析】an=2n﹣1.数列{bn}满足b1=1,n≥2时bn=an﹣an﹣1=2n﹣1﹣(2n﹣1﹣1)=2n﹣1,(n=1时也成立).可得bn=2n﹣1.利用等比数列的求和公式即可得出.
【解答】解:an=2n﹣1.
数列{bn}满足b1=1,n≥2时bn=an﹣an﹣1=2n﹣1﹣(2n﹣1﹣1)=2n﹣1,(n=1时也成立).
∴bn=2n﹣1.
∴=.
∴数列的前n﹣1项和Sn﹣1=1+=2﹣22﹣n(n≥2).
故答案为:2﹣22﹣n(n≥2).
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知直线和点P(3,1),过点P的直线与直线在第一象限交于点Q,与x轴交于点M,若为等边三角形,求点Q的坐标
参考答案:
因直线的倾斜角为,
要使为等边三角形,直线的斜率应为,
设,则,
解得:,
19. 已知函数的最大值为.
(1)作出函数的图象;
(2)若,求的最大值.
参考答案:
(1)
(2)由(1)可知
∵,
∴
∴的最大值为,
当且仅当时,等号成立.
20. (16分)设函数。
(Ⅰ)求的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对一切,,求的最大值。
参考答案:
解析:(Ⅰ),
当时,;当时,;
故在单调增加,在单调减少。
的极小值,极大值
(Ⅱ)由知
即
由此及(Ⅰ)知的最小值为,最大值为
因此对一切,的充要条件是,
即,满足约束条件
, 由线性规划得,的最大值为5.
21. 已知函数f(x)=a(x﹣1),g(x)=a(x﹣1)ex,a∈R.
(Ⅰ)判断直线y=f(x)能否与曲线y=g(x)相切,并说明理由;
(Ⅱ)若不等式f(x)>g(x)有且仅有两个整数解,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,设切点为(x0,y0),得到+x0﹣2=0.设h(x)=ex+x﹣2,根据函数的单调性求出x0的值,判断结论即可;
(Ⅱ)根据a(x﹣)<1,令h(x)=x﹣,根据函数的单调性求出h(x)的最小值,通过讨论a的范围,求出满足条件的a的范围即可.
【解答】解:(Ⅰ)假设存在这一的实数a使得f(x)的图象与g(x)相切,设切点为(x0,y0),
由g′(x)=(ax+a﹣1)ex可知,(ax0+a﹣1)=a,即a(x0+﹣1)=①
又函数f(x)的图象过定点(1,0),因此=a,
即a(x0﹣x0+1)=②
联立①、②消去a有+x0﹣2=0.
设h(x)=ex+x﹣2,则h′(x)=ex+1>0,所以h(x)在R上单调递增,
而h(0)=﹣1<0,h(1)=e﹣1>0,h(0)h(1)<0,
故存在x0∈(0,1),使得h(x0)=0,
所以存在直线y=f(x)能与曲线y=g(x)相切.
(Ⅱ)由f(x)>g(x)得a(x﹣)<1.
令h(x)=x﹣,则h′(x)=.
令ω(x)=ex+x﹣2,则ω′(x)=ex+1>0,所以ω(x)在R上单调递增,
又ω(0)=﹣1<0,ω(1)=e﹣1>0,所以ω(x)在R上有唯一零点x0(0,1),
此时h(x)在(﹣∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.
∴h(x)min=h(x0)=,
易证ex>x+1,h(x0)=>>0.
当x≤0时,h(x)≥h(0)=1>0;当x≥1时,h(x)≥h(1)=1.
(1)若a≤0,则ah(x)≤0<1,此时ah(x)<1有无穷多个整数解,不合题意;
(2)若a≥1,即≤1,因为h(x)在(﹣∞,0]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
所以x∈z时,h(x)≥min{h(0),h(1)}=1≥,所以h(x)<无整数解,不合题意;
(3)若0<a<1,即>1,此时h(0)=h(1)=1<,故0,1是h(x)<的两个整数解,
又h(x)<只有两个整数解,因此,解得a≥.
所以a∈[,1).
22. 已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中(a>0且a≠1),设h(x)=f(x)-g(x).
(1)求函数h(x)的定义域;
(2)判断h(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f(3)=2,求使h(x)>0成立的x的集合.
参考答案:
(1)由对数的意义,分别得1+x>0,1-x>0,即x>-1,x<1.∴函数f(x)的定义域为(-1,+∞),函数g(x)的定义域为(-∞,1),
∴函数h(x)的定义域为(-1,1).
(2)∵对任意的x∈(-1,1),-x∈(-1,